Tasakylkiset kolmion ominaisuudet, kaava ja alue, laskenta



Tasakylkinen kolmio Se on kolmipuolinen monikulmio, jossa kahdella on sama mittaus ja kolmas puoli eri mittauksella. Tätä viimeistä puolta kutsutaan pohjaksi. Tämän ominaisuuden vuoksi sille annettiin tämä nimi, joka kreikaksi tarkoittaa "yhtäläisiä jalat"

Kolmiot ovat monikulmioita, jotka katsotaan geometrian yksinkertaisimmiksi, koska ne muodostuvat kolmesta sivusta, kolmesta kulmasta ja kolmesta pisteestä. Ne ovat niitä, joilla on vähiten sivuja ja kulmia suhteessa muihin polygoneihin, mutta sen käyttö on hyvin laaja.

indeksi

  • 1 Tasakylkisten kolmioiden ominaisuudet
    • 1.1 Komponentit
  • 2 Ominaisuudet
    • 2.1 Sisäiset kulmat
    • 2.2 Sivut
    • 2.3 Kongressiiviset puolet
    • 2.4 Kongruentit kulmat
    • 2.5 Korkeus, mediaani, bisector ja bisector ovat sattumanvaraisia
    • 2.6 Suhteelliset korkeudet
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter sopivat yhteen
  • 3 Miten kehä lasketaan?
  • 4 Korkeuden laskeminen?
  • 5 Alueen laskeminen?
  • 6 Miten lasketaan kolmion pohja?
  • 7 Harjoitukset
    • 7.1 Ensimmäinen harjoitus
    • 7.2 Toinen harjoitus
    • 7.3 Kolmas harjoitus
  • 8 Viitteet

Tasakylkisten kolmioiden ominaisuudet

Tasakylkinen kolmio luokiteltiin käyttämällä sen sivujen mittaa parametrina, koska kaksi sen sivua ovat yhteneviä (niillä on sama pituus).

Sisäkulmien amplitudin mukaan tasakylkiset kolmiot luokitellaan seuraavasti:

  • Suorakulmainen tasakylkinen kolmio: kaksi sen sivua on yhtä suuri. Yksi sen kulmista on suora (90tai) ja muut ovat samat (45. \ ttai kukin niistä)
  • Tasaiset kulmaiset kolmiot: kaksi sen sivua on yhtä suuri. Yksi sen kulmista on tylsä ​​(> 90tai).
  • Tasakylkinen akuutti kulmainen kolmio: kaksi sen sivua on yhtä suuri. Kaikki sen kulmat ovat teräviä (< 90tai), jossa kahdella on sama toimenpide.

komponentit

  • Mediaani: on viiva, joka lähtee yhden puolen keskipisteestä ja saavuttaa vastakkaisen kärjen. Kolme mediaania ovat samaa mieltä kohdassa centroid tai centroid.
  • Bisector: on säde, joka jakaa kunkin kärjen kulman kahteen saman kokoiseen kulmaan. Siksi sitä kutsutaan symmetria-akseliksi ja tämäntyyppisillä kolmioilla on vain yksi.
  • Mediatriisi: on segmentti, joka on kohtisuorassa kolmion keskelle, joka on peräisin tämän keskeltä. Kolmiolla on kolme mediaattia ja ne sopivat yhteen pisteeseen, jota kutsutaan circuncentro.
  • Korkeus: on linja, joka kulkee kärjestä vastakkaiselle puolelle ja myös tämä linja on kohtisuorassa kyseiseen puoleen nähden. Kaikissa kolmioissa on kolme korkeutta, jotka ovat samankaltaisia ​​pisteessä, jota kutsutaan nimellä orthocenter.

ominaisuudet

Tasakylkiset kolmiot määritellään tai tunnistetaan, koska niillä on useita niitä edustavia ominaisuuksia, jotka ovat peräisin suurten matemaatikkojen ehdottamista teoreemeista:

Sisäiset kulmat

Sisäisten kulmien summa on aina 180tai.

Sivujen summa

Kahden puolen mittausten summa on aina oltava suurempi kuin kolmannen puolen mitta, a + b> c.

Kongressiiviset puolet

Tasakylkisissä kolmioissa on kaksi puolta, joilla on sama mitta tai pituus; toisin sanoen ne ovat yhteneväisiä ja kolmas puoli poikkeaa näistä.

Kongruentit kulmat

Tasakylkiset kolmiot tunnetaan myös iso-kulmien kolmioina, koska niillä on kaksi kulmaa, joilla on sama mitta (kongruentit). Nämä sijaitsevat kolmion pohjassa, vastapäätä sivuja, joiden pituus on sama.

Tämän vuoksi lause, joka määrittää, että:

"Jos kolmiossa on kaksi yhtenevää sivua, myös nämä sivut ovat vastakkaisia." Siksi, jos kolmio on tasalaatuinen, sen pohjan kulmat ovat yhteneväisiä.

esimerkiksi:

Seuraava kuva esittää ABC-kolmiota. Jäljittämällä sen bisektorin kulman B pisteestä pohjaan, kolmio jaetaan kahteen kolmioon, jotka ovat yhtä suuret kuin BDA ja BDC:

Niinpä piste B: n kulma jaettiin myös kahteen samaan kulmaan. Bisektori on nyt näiden kahden uuden kolmion välistä yhteistä sivua (BD), kun taas sivut AB ja BC ovat yhteneviä puolia. Joten sinulla on kongruenssipuoli, kulma, sivu (LAL).

Tämä osoittaa, että huippujen A ja C kulmilla on sama mitta, aivan kuten voidaan myös osoittaa, että koska kolmiot BDA ja BDC ovat yhteneväisiä, myös AD- ja DC-sivut ovat yhteneväisiä..

Korkeus, mediaani, bisector ja bisector ovat sattumanvaraisia

Linja, joka on vedetty pohjan vastakkaisesta pisteestä tasakylkisen kolmion pohjan keskipisteeseen, on samanaikaisesti korkeus, mediaani ja bisektori, samoin kuin bisektori suhteessa alustan vastakkaiseen kulmaan.

Kaikki nämä segmentit yhtyvät yhteen, joka edustaa niitä.

esimerkiksi:

Seuraavassa kuvassa on kolmio ABC, jossa on keskipiste M, joka jakaa pohjan kahteen segmenttiin BM ja CM.

Kun piirrät segmentin pisteestä M vastakkaiselle pisteelle, saat määritelmän mukaan mediaanin AM, joka on suhteessa huippuun A ja BC-puoleen.

Koska AM-segmentti jakaa kolmion ABC kahteen yhtäläiseen kolmioon AMB ja AMC, se tarkoittaa, että sivun, kulman, sivukongruenssin tapaus otetaan, ja siksi AM on myös BÂC: n bisektori.

Siksi bisector on aina yhtä kuin mediaani ja päinvastoin.

AM-segmentti muodostaa kulmia, joilla on sama mitta AMB- ja AMC-kolmioille; toisin sanoen ne ovat täydentäviä siten, että kunkin toimenpide on:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180tai

2 * Med. (AMC) = 180tai

Med. (AMC) = 180tai ÷ 2

Med. (AMC) = 90tai

Voidaan tietää, että AM-segmentin muodostamat kulmat suhteessa kolmion pohjaan ovat suoria, mikä osoittaa, että tämä segmentti on täysin kohtisuorassa alustaan ​​nähden..

Siksi se edustaa korkeutta ja bisektoria, tietäen, että M on keskipiste.

Siksi suora AM:

  • Edustaa BC: n korkeutta.
  • Se on keskisuuria.
  • Se sisältyy BC: n mediatrixiin.
  • Se on huippupisteen kulma Â

Suhteelliset korkeudet

Samoilla puolilla olevilla korkeuksilla on sama mitta.

Koska tasakylkisillä kolmioilla on kaksi yhtäläistä sivua, niiden kaksi vastaavaa korkeutta ovat myös yhtä suuret.

Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter sopivat yhteen

Koska korkeutta, mediaania, bisektoria ja bisektoria suhteessa alustaan ​​edustavat samaan aikaan sama segmentti, ortokeskus, keskikeskinen viisto ja ympyräkeski ovat yhteisiä pisteitä, eli ne ovat samalla rivillä:

Kuinka laskea kehä?

Monikulmion kehä lasketaan sivujen summan perusteella.

Koska tässä tapauksessa tasakylkinen kolmio on samassa mittauksessa kaksi puolta, sen kehä lasketaan seuraavalla kaavalla:

P = 2*(sivu a) + (sivu b).

Miten lasketaan korkeus?

Korkeus on linjaan kohtisuorassa oleva linja, joka jakaa kolmion kahteen yhtä suureen osaan ulottamalla vastakkaiseen pisteeseen.

Korkeus edustaa vastakkaista jalkaa (a), puolet alustasta (b / 2) viereiseen jalkaan ja "a" -puoli edustaa hypotenusta.

Pythagorean lauseen avulla voit määrittää korkeuden arvon:

että2 + b2 = C2

missä:

että2 = korkeus (h).

b2 = b / 2.

C2 = sivu a.

Näiden arvojen korvaaminen Pythagorean lauseessa ja korkeuden poistaminen meillä on:

h2 + (b / 2)2 = että2

h2 + b2 / 4 = että2

h2 = että2 - b2 / 4

h = √ (että2 - b2 / 4).

Jos yhteensopivien sivujen muodostama kulma tunnetaan, korkeus voidaan laskea seuraavan kaavan avulla:

Miten alue lasketaan?

Kolmioiden pinta-ala lasketaan aina samalla kaavalla, kertomalla perusta korkeudella ja jakamalla kahdella:

On tapauksia, joissa tunnetaan vain kolmion kahden sivun mittaukset ja niiden välissä oleva kulma. Tässä tapauksessa alueen määrittämiseksi on tarpeen soveltaa trigonometrisiä suhteita:

Miten lasketaan kolmion pohja?

Koska tasakylkinen kolmio on kahdella tasavertaisella puolella, sen pohjan arvon määrittämiseksi on tiedettävä ainakin korkeuden tai sen kulman mitta..

Tietäen Pythagorean lauseen korkeutta:

että2 + b2 = c2

missä:

että2 = korkeus (h).

C2 = sivu a.

b2 = b / 2, ei tiedetä.

Me tyhjennettiin b2 kaavasta ja meidän on:

b2 = a2 - C2

b = √ a2 - C2

Koska tämä arvo vastaa puolta alustasta, se on kerrottava kahdella, jotta saadaan tasakylkisen kolmion pohjan koko mitta:

b = 2 * (√ a2 - C2)

Siinä tapauksessa, että tiedetään vain sen samankaltaisten sivujen arvo ja niiden välinen kulma, käytetään trigonometriaa, jäljittäen viivan pisteestä pohjaan, joka jakaa tasakylkisen kolmion kahteen oikeaan kolmioon.

Tällä tavoin puolet alustasta lasketaan seuraavasti:

On myös mahdollista, että tunnetaan vain pohjaan nähden vastakkaisen korkeuden ja kulman arvo. Tällöin trigonometriasta voidaan määrittää pohja:

koulutus

Ensimmäinen harjoitus

Etsi tasakylkisen kolmion ABC alue tietäen, että kaksi sen sivua mittaa 10 cm ja kolmas sivun pituus 12 cm.

ratkaisu

Kolmion alueen löytämiseksi on välttämätöntä laskea korkeus käyttämällä Pythagoran teoriaan liittyvän alueen kaavaa, koska yhtäläisten puolien välissä olevan kulman arvo ei ole tiedossa.

Meillä on seuraavat tiedot tasakylkisestä kolmiosta:

  • Yhtäläiset sivut (a) = 10 cm.
  • Pohja (b) = 12 cm.

Kaavan arvot korvataan:

Toinen harjoitus

Tasakylkisten kolmion kahden samanpituisen pituuden pituus on 42 cm, jolloin näiden sivujen liitos muodostaa 130 asteen kulmantai. Määritä kolmannen sivun arvo, kyseisen kolmion alue ja kehä.

ratkaisu

Tällöin sivujen ja niiden välisen kulman mittaukset ovat tunnettuja.

Jos haluat tietää puuttuvan puolen, eli kolmion pohjan, arvon, piirretään siihen kohtisuorassa oleva linja, joka jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan, joka on jokaiselle muodostetulle oikealle kolmiolle..

  • Tasaiset sivut (a) = 42 cm.
  • Kulma (Ɵ) = 130tai

Nyt trigonometriasta lasketaan pohjaosuuden arvo, joka vastaa puolta hypotenuusista:

Alueen laskemiseksi on välttämätöntä tietää sen kolmion korkeus, joka voidaan laskea trigonometrian tai Pythagorean lauseen avulla, nyt kun alustan arvo on jo määritetty.

Tronomonomian avulla se on:

Kehä lasketaan:

P = 2*(sivu a) + (sivu b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Kolmas harjoitus

Laske tasakylkisen kolmion sisäiset kulmat tietäen, että alustan kulma on  = 55tai

ratkaisu

Kahden puuttuvan kulman (Ê ja Ô) löytämiseksi on välttämätöntä muistaa kaksi kolmion ominaisuusta:

  • Jokaisen kolmion sisäisten kulmien summa on aina = 180tai:

 + Ê + Ô = 180 tai

  • Tasakylkisessä kolmiossa alustan kulmat ovat aina yhteneväisiä, eli niillä on sama mitta, joten:

 = Ô

Ê = 55tai

Kulman value arvon määrittämiseksi korvaa muiden sääntöjen arvot ensimmäisessä säännössä ja poista clear:

55tai + 55tai + Ô = 180 tai

110 tai + Ô = 180 tai

Ô = 180 tai - 110 tai

Ô = 70 tai.

viittaukset

  1. Álvarez, E. (2003). Geometrian elementit: lukuisia harjoituksia ja kompassin geometriaa. Medellinin yliopisto.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tekninen piirustus: toimintojen muistikirja.
  3. Angel, A. R. (2007). Elementaarinen algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kulttuuri.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematiikka 2.
  7. Tuma, J. (1998). Tekniikan matematiikan käsikirja. Wolfram MathWorld.