Skaalan kolmion ominaisuudet, kaava ja alueet, laskenta



scalene-kolmio Se on kolmipuolinen monikulmio, jossa kaikilla on erilaiset mittaukset tai pituudet; tästä syystä sille annetaan nimi scalene, joka latinalaisella tarkoittaa kiipeilyä.

Kolmiot ovat monikulmioita, joita pidetään geometrian yksinkertaisimpina, koska ne on muodostettu kolmelle puolelle, kolmelle kulmalle ja kolmelle pisteelle. Skaleenikolmion tapauksessa, koska sillä on kaikki eri puolet, se tarkoittaa, että sen kolme kulmaa ovat myös erilaisia..

indeksi

  • 1 Skalaenikolmioiden ominaisuudet
    • 1.1 Komponentit
  • 2 Ominaisuudet
    • 2.1 Sisäiset kulmat
    • 2.2 Sivut
    • 2.3 Epäjohdonmukaiset puolet
    • 2.4 Epäjohdonmukaiset kulmat
    • 2.5 Korkeus, mediaani, bisector ja bisector eivät ole yhteneväisiä
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter eivät ole yhteneväisiä
    • 2.7 Suhteelliset korkeudet
  • 3 Miten kehä lasketaan?
  • 4 Alueen laskeminen?
  • 5 Korkeuden laskeminen?
  • 6 Sivun laskeminen?
  • 7 Harjoitukset
    • 7.1 Ensimmäinen harjoitus
    • 7.2 Toinen harjoitus
    • 7.3 Kolmas harjoitus
  • 8 Viitteet

Skalaenikolmioiden ominaisuudet

Skaalauskolmiot ovat yksinkertaisia ​​monikulmioita, koska mikään niiden sivuista tai kulmista ei ole sama, toisin kuin tasa- ja tasasivuiset kolmiot.

Koska kaikilla sen sivuilla ja kulmilla on erilaiset mittaukset, näitä kolmioita pidetään epäsäännöllisinä kuperina monikulmioina.

Sisäisten kulmien amplitudin mukaan skaleeni-kolmiot luokitellaan seuraavasti:

  • Asteikon suorakulmion kolmio: kaikki sen sivut ovat erilaisia. Yksi sen kulmista on suora (90tai) ja muut ovat teräviä ja erilaisia.
  • Pienennä kulmakulma kolmio: kaikki sen sivut ovat erilaisia ​​ja yksi sen kulmista on tylsä ​​(> 90tai).
  • Pienennä acut-kulma-kolmio: kaikki sen sivut ovat erilaisia. Kaikki sen kulmat ovat teräviä (< 90tai), eri toimenpiteillä.

Toinen skalaenikolmioiden ominaisuus on, että niiden sivujen ja kulmien epäjohdonmukaisuuden vuoksi niillä ei ole symmetria-akselia.

komponentit

Mediaani: on viiva, joka lähtee yhden puolen keskipisteestä ja saavuttaa vastakkaisen kärjen. Kolme mediaania ovat samaa mieltä kohdassa centroid tai centroid.

Bisector: on säde, joka jakaa kunkin kulman kahteen saman kokoiseen kulmaan. Kolmiolähettiläiset ovat samaa mieltä kuin kannustin.

Mediatriisi: on segmentti, joka on kohtisuorassa kolmion keskelle, joka on peräisin tämän keskeltä. Kolmessa välilehdessä on kolme mediatricsiä ja ne sopivat yhteen ympyrän keskipisteessä.

Korkeus: on linja, joka kulkee kärjestä vastakkaiselle puolelle ja myös tämä linja on kohtisuorassa kyseiseen puoleen nähden. Kaikissa kolmioissa on kolme korkeutta, jotka ovat samassa paikassa kuin ortokeskus.

ominaisuudet

Scale-kolmiot määritellään tai tunnistetaan, koska niillä on useita niitä edustavia ominaisuuksia, jotka ovat peräisin suurten matemaatikkojen ehdottamista teoreemeista. Ne ovat:

Sisäiset kulmat

Sisäisten kulmien summa on aina 180tai.

Sivujen summa

Kahden puolen mittausten summa on aina oltava suurempi kuin kolmannen puolen mitta, a + b> c.

Epäjohdonmukaiset puolet

Kaikkien skalaenikolmioiden sivuilla on eri mitat tai pituudet; eli ne ovat epäjohdonmukaisia.

Epäjohdonmukaiset kulmat

Koska skalaenikolmion kaikki sivut ovat erilaisia, myös niiden kulmat ovat erilaiset. Sisäisten kulmien summa on kuitenkin aina 180 astetta, ja joissakin tapauksissa yksi sen kulmista voi olla tylsä ​​tai suora, kun taas toisissa kaikki sen kulmat ovat akuutteja.

Korkeus, mediaani, bisector ja bisector eivät ole sattumaa

Kuten kaikilla kolmioilla, skaleenilla on useita suoria viivoja, jotka muodostavat sen, kuten: korkeus, mediaani, bisector ja bisector.

Sivunsa erikoisuudesta johtuen tällaisessa kolmiossa ei yhtäkään näistä riveistä osu yhteen.

Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter eivät ole sattumaa

Koska korkeutta, mediaania, bisektoria ja bisektoria edustavat suorien viivojen eri segmentit, kohtauskohdat - ortokeskus, keskikeskus, kotelo ja ympyrä - löytyvät eri pisteistä (ne eivät ole yhteneväisiä)..

Riippuen siitä, onko kolmiota akuutti, suorakulmio tai skalaeni, orthocenterissa on eri sijainnit:

a. Jos kolmio on akuutti, ortokeskus on kolmion sisällä.

b. Jos kolmio on suorakulmio, ortokeskus tulee samaan aikaan suoran sivun kärjen kanssa.

C. Jos kolmio on tylsä, ortokeskus on kolmion ulkopuolella.

Suhteelliset korkeudet

Korkeudet ovat suhteessa sivuihin.

Scalene-kolmion tapauksessa näillä korkeuksilla on erilaiset mittaukset. Jokaisessa kolmiossa on kolme suhteellista korkeutta ja niiden laskemiseksi käytetään Heronin kaavaa.

Kuinka laskea kehä?

Monikulmion kehä lasketaan sivujen summan perusteella.

Koska tässä tapauksessa skalaenikolmion kaikilla puolilla on eri mitta, sen kehä on:

P = sivu a + puoli b + puoli c.

Miten alue lasketaan?

Kolmioiden pinta-ala lasketaan aina samalla kaavalla, kertomalla perusta korkeudella ja jakamalla kahdella:

Alue = (pohja * h) ÷ 2

Joissakin tapauksissa skalaenikolmion korkeus ei ole tiedossa, mutta matemaattorin Heronin ehdottama kaava laskee alueen, joka tietää kolmion kolmipuolen mittauksen.

missä:

  • a, b ja c edustavat kolmion sivuja.
  • sp, vastaa kolmion semiperimetriä eli puolta kehää:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Siinä tapauksessa, että sinulla on vain kaksi kolmion sivua ja niiden välinen kulma, pinta-ala voidaan laskea käyttämällä trigonometrisiä suhteita. Joten sinun täytyy:

Alue = (sivu * h) ÷ 2

Kun korkeus (h) on toisen puolen tuottama vastakkaisen kulman sini. Esimerkiksi kullekin puolelle alue on:

  • Alue = (b * C * sen A) ÷ 2
  • Alue = (a * C * sen B) ÷ 2.
  • Alue = (a * b * sen C) ÷ 2

Miten lasketaan korkeus?

Koska skalaenikolmion kaikki sivut ovat erilaisia, korkeutta ei voida laskea Pythagorean lauseella.

Heronin kaavasta, joka perustuu kolmion kolmen sivun mittauksiin, alue voidaan laskea.

Korkeus voidaan poistaa alueen yleisestä kaavasta:

Puoli korvataan sivun a, b tai c mittauksella.

Toinen tapa laskea korkeus, kun yhden kulman arvo tunnetaan, on soveltaa trigonometrisiä suhteita, joissa korkeus edustaa kolmion jalkaa.

Esimerkiksi, kun vastakulma korkeuteen nähden on tiedossa, sini määrittää:

Miten lasketaan sivut?

Kun sinulla on kaksi sivua ja näihin nähden vastakkainen kulma, on mahdollista määrittää kolmas puoli käyttämällä kosinien teoriaa.

Esimerkiksi kolmiossa AB on piirretty segmentin AC korkeus. Näin kolmio jaetaan kahteen oikeaan kolmioon.

C-puolen (segmentti AB) laskemiseksi Pythagoren teoriaa sovelletaan jokaiseen kolmioon:

  • Sinisen kolmion kohdalla:

C2 = h2 + m2

Koska m = b - n, se korvataan:

C2 = h2 + b2 (b - n)2

C2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Sinun on tehtävä vaaleanpunainen kolmio:

h2 = a2 - n2

Se korvataan edellisellä yhtälöllä:

C2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

C2 = a2 + b2 - 2 miljardia.

Tietäen, että n = a * cos C, korvataan edellisessä yhtälössä ja saadaan sivun c arvo:

C2 = a2 + b2 - 2b* että * cos C.

Cosinesin lain mukaan puolet voidaan laskea seuraavasti:

  • että2 = b2 + C2 - 2b* C * cos A.
  • b2 = a2 + C2 - 2.* C * cos B.
  • C2 = a2 + b2 - 2b* että * cos C.

On tapauksia, joissa kolmion sivujen mittauksia ei tunneta, vaan niiden korkeus ja pisteet muodostavat kulmat. Alueen määrittämiseksi näissä tapauksissa on tarpeen soveltaa trigonometrisiä suhteita.

Tietäen jonkin sen pisteiden kulmaa, jalat tunnistetaan ja käytetään vastaavaa trigonometristä suhdetta:

Esimerkiksi cathetus AB on vastakkainen kulmaan C nähden, mutta kulman A vieressä. Korkeutta vastaavalta sivulta tai katetilta riippuen toinen puoli tyhjenee tämän arvon saavuttamiseksi..

koulutus

Ensimmäinen harjoitus

Laske skaleenikolmion ABC pinta-ala ja korkeus tietäen, että sen sivut ovat:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

ratkaisu

Koska tiedoksi annetaan skalaenikolmion kolmen sivun mittaukset.

Koska sinulla ei ole korkeusarvoa, voit määrittää alueen käyttämällä Heronin kaavaa.

Ensin lasketaan semiperimetri:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nyt arvot Heronin kaavassa korvataan:

Alueen tunteminen voidaan laskea suhteellisella korkeudella sivulta b. Yleisestä kaavasta voit poistaa sen:

Alue = (sivu * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Toinen harjoitus

Kun otetaan huomioon skalaenikolmio ABC, jonka toimenpiteet ovat:

  • Segmentti AB = 25 m.
  • Segmentti BC = 15 m.

Pisteessä B muodostuu 50 ° kulma. Laske suhteellinen korkeus sivulle c, ympärysmitta ja sen kolmion pinta-ala.

ratkaisu

Tässä tapauksessa sinulla on kaksi puolta. Korkeuden määrittämiseksi on tarpeen laskea kolmannen puolen mittaus.

Koska annetaan vastakkainen kulma vastakkain, on mahdollista soveltaa kosinien lakia AC-puolen (b) mittauksen määrittämiseksi:

b2 = a2 + C2 - 2.*C * cos B

missä:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50tai.

Tiedot korvataan:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = 367 985

b = 19,18 m.

Kun sinulla on jo kolmen sivun arvo, laskekaa tämän kolmion kehä:

P = sivu a + puoli b + puoli c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nyt on mahdollista määrittää alue käyttämällä Heronin kaavaa, mutta ensin on laskettava semiperimetri:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Sivut ja semiperimetri vaihdetaan Heronin kaavassa:

Lopuksi, tietäen alueen, voidaan laskea sivun c suhteellinen korkeus. Yleisestä kaavasta on poistettava se:

Alue = (sivu * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Kolmas harjoitus

Scalene-kolmiossa ABC sivun b pituus on 40 cm, sivun c korkeus on 22 cm ja kärjessä A 90 asteen kulma.tai. Laske kolmion pinta-ala.

ratkaisu

Tässä tapauksessa annetaan skalaenikolmion ABC kahden sivun mittaukset sekä kulmassa, joka on muodostettu kärjessä A.

Alueen määrittämiseksi ei ole tarpeen laskea sivun a mittaa, koska trigonometristen suhteiden avulla kulmaa käytetään sen löytämiseen.

Koska vastakulma korkeuteen nähden on tiedossa, tuote määrittää sen toisella puolella ja kulman sini.

Korvaa sen alueen kaava, jossa olet:

  • Alue = (sivu * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Alue = (b * C * sen A) ÷ 2

Alue = (40 cm) * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Alue = (40 cm) * 22 cm * 1) ÷ 2

Pinta-ala = 880 cm2 ÷ 2

Pinta-ala = 440 cm2.

viittaukset

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tekninen piirustus: toimintojen muistikirja.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometriaa. CR-tekniikka, .
  3. Angel, A. R. (2007). Elementaarinen algebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kulttuuri.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Tasainen euklidinen geometria. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Geometrian perusteet Meksiko: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Opiskelijoiden perusgeometria. Cengage-oppiminen.
  8. Harpe, P. d. (2000). Geometrisen ryhmän teorian aiheet. University of Chicago Press.