Tasasivuiset kolmion ominaisuudet, ominaisuudet, kaavat ja alue



tasasivuinen kolmio se on monikulmio, jossa on kolme puolta, joissa kaikki ovat yhtäläisiä; toisin sanoen heillä on sama toimenpide. Tämän ominaisuuden vuoksi sille annettiin yhtäläinen nimi (yhtäläiset puolet).

Kolmiot ovat monikulmioita, joita pidetään geometrian yksinkertaisimpina, koska ne on muodostettu kolmelle puolelle, kolmelle kulmalle ja kolmelle pisteelle. Tasasivuisen kolmion tapauksessa, sillä on yhtäläiset puolet, sen kolme kulmaa ovat myös.

indeksi

  • 1 Tasasivuisten kolmioiden ominaisuudet
    • 1.1 Tasapuoliset puolet
    • 1.2 Komponentit
  • 2 Ominaisuudet
    • 2.1 Sisäiset kulmat
    • 2.2 Ulkoiset kulmat
    • 2.3 Sivut
    • 2.4 Kongressiiviset puolet
    • 2.5 Kongruentit kulmat
    • 2.6 Bisector, mediaani ja mediatriisi ovat sattumanvaraisia
    • 2.7 Bisector ja korkeus ovat samat
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter sopivat yhteen
  • 3 Miten kehä lasketaan?
  • 4 Korkeuden laskeminen?
  • 5 Sivun laskeminen?
  • 6 Alueen laskeminen?
  • 7 Harjoitukset
    • 7.1 Ensimmäinen harjoitus
    • 7.2 Toinen harjoitus
    • 7.3 Kolmas harjoitus
  • 8 Viitteet

Tasasivuisten kolmiomerkkien ominaisuudet

Tasapuoliset puolet

Tasasivuiset kolmiot ovat tasaisia ​​ja suljettuja lukuja, jotka koostuvat kolmesta suorien viivojen segmentistä. Kolmiot luokitellaan niiden ominaisuuksien mukaan suhteessa niiden sivuihin ja kulmiin; tasasivuinen luokiteltiin käyttämällä sen sivujen mittaa parametrina, koska ne ovat täsmälleen samat, eli ne ovat yhteneväisiä.

Tasasivuinen kolmio on tasakylkinen kolmio, koska kaksi sen sivua ovat yhteneväisiä. Siksi kaikki tasasivuiset kolmiot ovat myös tasakokoisia, mutta kaikki tasakylkiset kolmiot eivät ole tasasivuisia.

Tällä tavoin tasasivuiset kolmiot ovat samatasoinen kuin tasakylkinen kolmio.

Tasasivuiset kolmiot voidaan myös luokitella niiden sisäisten kulmien amplitudiksi tasasivuisena kulmikkaisena kolmiona, jolla on kolme sivua ja kolme sisäistä kulmaa saman mittauksen kanssa. Kulmat ovat teräviä, eli ne ovat alle 90 °tai.

komponentit

Kolmioissa on yleensä useita rivejä ja pisteitä, jotka muodostavat sen. Niitä käytetään alueen, sivujen, kulmien, mediaanin, bisektorin, kohtisuoran ja korkeuden laskemiseen.

  • Mediaani: on viiva, joka lähtee yhden puolen keskipisteestä ja saavuttaa vastakkaisen kärjen. Kolme mediaania ovat samaa mieltä kohdassa centroid tai centroid.
  • Bisector: on säde, joka jakaa pisteiden kulman kahteen samankokoiseen kulmaan, minkä vuoksi sitä kutsutaan symmetria-akseliksi. Tasasivuisessa kolmiossa on kolme symmetria-akselia.

Tasasivuisessa kolmiossa bisektori vedetään kulman kärjestä vastakkaiselle puolelle, leikkaamalla se sen keskipisteeseen. Nämä ovat samaa mieltä nimeltään kannustin.

  • Mediatriisi: on segmentti, joka on kohtisuorassa tämän keskellä olevan kolmion sivulle. Kolmiolla on kolme mediaattia ja ne sopivat yhteen pisteeseen, jota kutsutaan circuncentro.
  • Korkeus: on linja, joka kulkee kärjestä vastakkaiselle puolelle ja myös tämä linja on kohtisuorassa kyseiseen puoleen nähden. Kaikissa kolmioissa on kolme korkeutta, jotka ovat samassa paikassa kuin ortokeskus.

ominaisuudet

Tasasivuisten kolmioiden pääasiallinen ominaisuus on, että ne ovat aina tasakylkisiä kolmioita, koska tasa- puoliset muodostuvat kahdesta yhtenevästä sivusta ja tasasivuisista kolmesta..

Näin tasasivuiset kolmiot perivät kaikki tasakylkisen kolmion ominaisuudet:

Sisäiset kulmat

Sisäisten kulmien summa on aina 180tai, ja koska kaikki sen kulmat ovat yhteneväisiä, niin kukin näistä mittaa 60. \ ttai.

Ulkoiset kulmat

Ulkoisten kulmien summa on aina yhtä suuri kuin 360tai, siksi kukin ulkoinen kulma mittaa 120 °tai. Tämä johtuu siitä, että sisäiset ja ulkoiset kulmat ovat täydentäviä, eli niiden lisääminen on aina 180tai.

Sivujen summa

Kahden puolen mittausten summa on aina oltava suurempi kuin kolmannen puolen mitta, eli a + b> c, jossa a, b ja c ovat kummankin puolen mittaukset.

Kongressiiviset puolet

Tasasivuisilla kolmioilla on kolme sivua, joilla on sama mitta tai pituus; eli ne ovat yhdenmukaisia. Siksi edellisessä kohdassa on a = b = c.

Kongruentit kulmat

Tasasivuiset kolmiot tunnetaan myös yhtälöisinä kolmioina, koska niiden kolme sisäistä kulmaa ovat yhteneväisiä toistensa kanssa. Tämä johtuu siitä, että kaikilla sen puolilla on sama toimenpide.

Bisector, mediaani ja mediatriisi ovat sattumanvaraisia

Bisector jakaa kolmion sivun kahteen osaan. Tasasivuisissa kolmioissa kyseinen puoli jaetaan kahteen täsmälleen samaan osaan, eli kolmio jaetaan kahteen kongruenttiin oikeaksi kolmioon..

Niinpä tasasivuisen kolmion mistä tahansa kulmasta vetämä bisektori on sama kuin kulman vastakkaisella puolella oleva mediaani ja bisektri.

esimerkiksi:

Seuraavassa kuvassa on kolmio ABC, jossa on keskipiste D, joka jakaa yhden sen sivuista kahteen segmenttiin AD ja BD.

Kun piirrät rivin pisteestä D vastakkaiseen pisteeseen, saat määritelmän mukaan mediaanilevyn, joka on suhteessa huippuun C ja AB-puoleen.

Koska CD-segmentti jakaa kolmion ABC kahteen kolmioon, jotka vastaavat CDB: tä ja CDA: ta, se tarkoittaa, että meillä on kongruenssin tapaus: puoli, kulma, sivu ja siksi CD on myös BCD: n bisektorina.

Kun piirrät CD-segmentin, jaa huippukulma kahteen 30: eentai, kärjen A kulma jatkuu 60: n mittaisenatai ja suora CD muodostaa 90 asteen kulmantai suhteessa keskipisteeseen D.

Segmentin CD muodostaa kulmia, joilla on sama mittaus kolmioille ADC ja BDC, eli ne ovat täydentäviä siten, että kunkin mittaus on:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180tai

2 * Med. (ADC) = 180tai

Med. (ADC) = 180tai ÷ 2

Med. (ADC) = 90tai.

Ja niin, sinulla on, että CD-segmentti on myös AB-puolen bisector.

Bisector ja korkeus ovat samat

Kun vedät bisektorin kulman kärjestä vastakkaiselle puolelle, se jakaa tasasivuisen kolmion kahteen kongruenttiin kolmioon..

Tällä tavalla muodostetaan 90 ° kulmatai (Suora). Tämä osoittaa, että tämä viivasegmentti on täysin kohtisuorassa tälle puolelle, ja määritelmän mukaan tämä linja olisi korkeus.

Tällä tavoin tasasivuisen kolmion minkä tahansa kulman kallistuskulma yhtyy kyseisen kulman vastakkaisella puolella olevaan suhteelliseen korkeuteen.

Orthocenter, barycenter, incenter ja circumcenter sopivat yhteen

Koska korkeutta, mediaania, bisektoria ja bisektoria edustavat samaan aikaan sama segmentti, tasasivuisessa kolmiossa näiden segmenttien kohtaamispaikat - ortokeskus, barycenter, incenter ja circumcenter-, ovat samassa kohdassa:

Kuinka laskea kehä?

Monikulmion kehä lasketaan sivujen summan perusteella. Koska tässä tapauksessa tasasivuinen kolmio sisältää kaikki sivut samalla mitalla, sen kehä lasketaan seuraavalla kaavalla:

P = 3 * puoli.

Miten lasketaan korkeus?

Koska korkeus on linjaan kohtisuorassa oleva linja, se jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan ulottumalla vastakkaiseen pisteeseen. Täten muodostuu kaksi yhtäläistä oikeaa kolmiota.

Korkeus (h) edustaa vastakkaista puolta (a), puolet sivusta AC vierekkäiselle puolelle (b) ja puoli BC edustaa hypotenusta (c).

Pythagorean lauseen avulla voit määrittää korkeuden arvon:

että2 + b2= c2

missä:

että2 = korkeus (h).

b2 = sivu b / 2.

C2 = sivu a.

Näiden arvojen korvaaminen Pythagorean lauseessa ja korkeuden poistaminen meillä on:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Jos kulmien muodostama kulma on tiedossa, korkeus (jota edustaa jalka) voidaan laskea käyttämällä trigonometrisiä suhteita.

Jalkoja kutsutaan vastakkaisiksi tai vierekkäisiksi viitteeksi otetun kulman mukaan.

Esimerkiksi edellisessä kuvassa katetti h on vastakkainen kulmaan C, mutta kulman B vieressä:

Siten korkeus voidaan laskea seuraavasti:

Miten lasketaan sivut?

On tapauksia, joissa kolmion sivujen mittaukset eivät ole tiedossa, mutta niiden korkeus ja kulmat, jotka muodostuvat pisteisiin.

Alueen määrittämiseksi näissä tapauksissa on tarpeen soveltaa trigonometrisiä suhteita.

Tietäen jonkin sen pisteiden kulmaa, jalat tunnistetaan ja käytetään vastaavaa trigonometristä suhdetta:

Tällöin jalka AB on vastakkainen kulman C suhteen, mutta kulman A vieressä. Korkeutta vastaavalta sivulta tai jalalta riippuen toinen puoli tyhjennetään tämän arvon saavuttamiseksi, tietäen, että kolmion ollessa tasasivuinen kolmio puolilla on aina sama koko.

Miten alue lasketaan?

Kolmioiden pinta-ala lasketaan aina samalla kaavalla, kertomalla perusta korkeudella ja jakamalla kahdella:

Alue = (b * h) ÷ 2

Tietäen, että korkeus annetaan kaavalla:

koulutus

Ensimmäinen harjoitus

Tasasivuisen kolmion ABC sivut ovat 20 cm kukin. Laske polygonin korkeus ja pinta-ala.

ratkaisu

Tämän tasasivuisen kolmion alueen määrittämiseksi on tarpeen laskea korkeus tietäen, että se piirtäessään jakaa kolmion kahteen yhtä oikeaan kolmioon.

Tällä tavoin Pythagorean lause voidaan löytää sen löytämiseksi:

että2 + b2= c2

missä:

a = 20/2 = 10 cm.

b = korkeus.

c = 20 cm.

Teoreemassa olevat tiedot korvataan:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Eli kolmion korkeus on 17,32 cm. Nyt on mahdollista laskea kyseisen kolmion pinta-ala korvaamalla kaavalla:

Alue = (b * h) ÷ 2

Alue = (20 cm) * 17,32 cm) ÷ 2

Pinta-ala = 346,40 cm2 ÷ 2

Pinta-ala = 173,20 cm2.

Toinen yksinkertaisempi tapa ratkaista harjoitus on korvata alueen suorakaavan tiedot, joissa korkeuden arvo on myös epäsuorasti:

Toinen harjoitus

Maassa, jossa on tasasivuinen kolmio, kukkia istutetaan. Jos kyseisen maan ympärysmitta on 450 m, lasketaan kukkien käyttämien neliömetrien lukumäärä.

ratkaisu

Tietäen, että kolmion ympärysmitta vastaa sen kolmen sivun summaa ja koska maastossa on tasasivuinen kolmio, kolmion kolmella puolella on sama mitta tai pituus:

P = puoli + puoli + puoli = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Nyt on vain tarpeen laskea kolmion korkeus.

Korkeus jakaa kolmion kahteen yhtenevään oikeaan kolmioon, joissa yksi jaloista edustaa korkeutta ja toista puolta alustasta. Pythagorean lauseella korkeus voidaan määrittää:

että2 + b2= c2

missä:

että = 150 m ÷ 2 = 75 m.

C = 150 m.

b = korkeus

Teoreemassa olevat tiedot korvataan:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16,875 m

b = ,816,875 m

b = 129,90 m.

Niinpä alue, joka kukoistaa kukkia, on:

Alue = b * h ÷ 2

Alue = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Alue = (19,485 m2) ÷ 2

Pinta-ala = 9,742,5 m2

Kolmas harjoitus

Tasasivuinen kolmio ABC jaetaan viivasegmentillä, joka kulkee sen kärkipisteestä C keskipisteeseen D, joka sijaitsee vastakkaisella puolella (AB). Tämä segmentti on 62 metriä. Laske kyseisen tasasivuisen kolmion alue ja kehä.

ratkaisu

Tietäen, että tasasivuinen kolmio on jaettu korkeudelle vastaavalla viivasegmentillä, jolloin muodostuu kaksi yhtenevää oikeaa kolmiota, tämä puolestaan ​​jakaa myös kärjen C kulman kahteen kulmaan samalla mittauksella, 30tai jokainen.

Korkeus muodostaa 90 asteen kulmantai segmentin AB suhteen ja kärjen A kulma mitataan sitten 60 °tai.

Käyttäkää sitten viitteenä 30 kulmaatai, korkeus-CD on muodostettu kulman viereen ja BC hypotenuseksi.

Näistä tiedoista voidaan määrittää yhden kolmion sivun arvo käyttämällä trigonometrisiä suhteita:

Kuten tasasivuisessa kolmiossa kaikilla sivuilla on täsmälleen sama mitta tai pituus, se tarkoittaa, että tasasivuisen kolmion ABC jokainen puoli on 71,6 metriä. Tietäen, että on mahdollista määrittää alueesi:

Alue = b * h ÷ 2

Pinta-ala = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Pinta-ala = 4 438,6 m2 ÷ 2

Pinta-ala = 2,219,3 m2

Kehä on sen kolmen sivun summa:

P = puoli + puoli + puoli = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

viittaukset

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tekninen piirustus: toimintojen muistikirja.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kulttuuri.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Tasainen euklidinen geometria. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometria A Transformation Approach. USA: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R. P. (1886). Euklidin geometrian elementit.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria ja trigonometria.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integroitu geometria Metropolitan Technological Institute.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra ja trigonometria Pearson Education.