Binominen teorian esittely ja esimerkit

binomi-lause on yhtälö, joka kertoo meille, miten kehittää lomakkeen ilmaus (a + b)ⁿ jokin luonnollinen numero n. Binomi ei ole enempää kuin kahden elementin summa, kuten (a + b). Se antaa meille myös mahdollisuuden tietää a^Kb^n-k mikä on kerroin, joka menee sen kanssa.

Tämä lause perustuu yleisesti englantilaiseen keksijään, fyysikkoon ja matemaatikkoon Sir Isaac Newtoniin; kuitenkin on löydetty useita tietueita, jotka osoittavat, että Lähi-idässä sen olemassaolo oli jo tiedossa noin vuoden 1000 aikana.

indeksi

• 1 yhdistelmämäärät
• 2 Esittely
• 3 Esimerkkejä
  • 3.1 Identiteetti 1
  • 3.2 Identiteetti 2
• 4 Toinen esittely
  • 4.1 Esittely induktiolla
• 5 Curiosities
• 6 Viitteet

Kombinatoriset numerot

Binomiteoreemi kertoo matemaattisesti seuraavista:

Tässä ilmaisussa a ja b ovat reaalilukuja ja n on luonnollinen luku.

Ennen mielenosoituksen antamista, katsotaan joitakin välttämättömiä peruskäsitteitä.

N: n yhdistelmämäärä tai yhdistelmät ilmaistaan ​​seuraavasti:

Tämä lomake ilmaisee arvon siitä, kuinka monta k-osaa sisältävää osajoukkoa voidaan valita joukosta n-elementtejä. Sen algebrallinen ilmaisu on:

Katsotaanpa esimerkki: oletetaan, että meillä on seitsemän palloa, joista kaksi on punaisia ​​ja loput ovat sinisiä.

Haluamme tietää, kuinka monella tavalla voimme tilata ne peräkkäin. Yksi tapa voisi olla sijoittaa kaksi punaista ensimmäiseen ja toiseen asentoon ja loput pallot jäljellä oleviin paikkoihin.

Samoin kuin edellisessä tapauksessa, voisimme antaa punaiset pallot vastaavasti ensimmäiselle ja viimeiselle sijalle ja miehittää muita sinisiä palloja.

Nyt on tehokas tapa laskea, kuinka monta tapaa voimme tilata pallot peräkkäin käyttäen yhdistelmälukuja. Näemme kunkin sijainnin osana seuraavaa joukkoa:

Seuraavaksi on välttämätöntä valita vain kaksi osaa, joissa jokainen näistä elementeistä edustaa asemaa, jossa punaiset pallot vievät. Voimme tehdä tämän valinnan seuraavien suhteiden perusteella:

Tällä tavoin meillä on 21 tapaa lajitella tällaisia ​​palloja.

Tämän esimerkin yleinen ajatus on erittäin hyödyllinen binomiteorian esittelyssä. Katsotaanpa tiettyä tapausta: jos n = 4, meillä on (a + b)⁴, joka ei ole muuta kuin:

Kun kehitämme tätä tuotetta, meillä on niiden termien summa, jotka saadaan kertomalla jokaisen neljän tekijän (a + b) elementti. Näin ollen meillä on ehdot, joiden muoto on:

Jos halusimme saada lomakkeen⁴, vain kerrotaan seuraavalla tavalla:

Huomaa, että tämä elementti on vain yksi tapa; mutta mitä tapahtuu, jos etsimme nyt lomakkeen²b²? Koska "a" ja "b" ovat todellisia numeroita ja siksi kommutatiivinen laki on pätevä, meillä on keino saada tämä termi kertoa jäsenten kanssa nuolien osoittamalla tavalla..

Kaikkien näiden toimintojen suorittaminen on yleensä jonkin verran tylsiä, mutta jos näemme termin "a" yhdistelmänä, jossa haluamme tietää, kuinka monella tavalla voimme valita kaksi "a": a neljästä tekijästä, voimme käyttää edellisen esimerkin ajatusta. Joten meillä on seuraavat:

Tiedämme siis, että lausekkeen lopullisessa kehityksessä (a + b)⁴ meillä on täsmälleen 6a²b². Käyttämällä samaa ajatusta muiden elementtien osalta sinun on:

Sitten lisäämme aiemmin hankitut lausekkeet ja meidän on:

Se on muodollinen esitys yleisestä tapauksesta, jossa "n" on mikä tahansa luonnollinen numero.

show

Huomaa, että ehdot, jotka säilyvät kehitettäessä (a + b)ⁿ ovat muodossa^Kb^n-k, jossa k = 0,1, ..., n. Käyttämällä edellisen esimerkin ideaa meillä on mahdollisuus valita "k" muuttujat "a" "n" tekijöistä:

Valitsemalla tällä tavalla valitsemme automaattisesti n-k muuttujat "b". Tästä seuraa, että:

esimerkit

Ottaen huomioon (a + b)⁵, Mikä olisi sen kehitys?

Binomiteorian mukaan meidän on:

Binomi-lause on erittäin hyödyllinen, jos meillä on ilmaisu, jossa haluamme tietää, mikä on tietyn aikavälin kerroin ilman, että tarvitsemme täyttä kehitystä. Esimerkkinä voimme ottaa seuraavan kysymyksen: mikä on kerroin x⁷ja⁹ kehitettäessä (x + y)¹⁶?

Binomiteoreemalla on, että kerroin on:

Toinen esimerkki olisi: mikä on kerroin x⁵ja⁸ kehittämisessä (3x-7y)¹³?

Ensin kirjoitamme lausekkeen kätevästi; tämä on:

Sitten binomiteoreettia käyttäen on, että haluttu kerroin on, kun meillä on k = 5

Toinen esimerkki tämän teorian käyttötavoista on osoitus tavallisista identiteeteistä, kuten jäljempänä mainituista.

Identiteetti 1

Jos "n" on luonnollinen numero, meidän on:

Esittelyssä käytämme binomiteoriaa, jossa sekä "a" että "b" ottavat arvoksi 1. Sitten meillä on:

Tällä tavoin olemme osoittaneet ensimmäisen identiteetin.

Identiteetti 2

Jos "n" on luonnollinen numero

Binomiteorian mukaan meidän on:

Toinen esittely

Voimme tehdä erilaisen esittelyn binomiteoreemalle käyttämällä induktiivista menetelmää ja pascal-identiteettiä, joka kertoo meille, että jos "n" ja "k" ovat positiivisia kokonaislukuja, jotka täyttävät n ≥ k, niin:

Esittely induktiolla

Ensin katsotaan, että induktiivinen pohja on täytetty. Jos n = 1, meidän on:

Itse asiassa näemme, että se on täytetty. Anna nyt n = j sellainen, että se on täytetty:

Haluamme nähdä, että n = j + 1: n osalta:

Joten meidän on:

Hypoteesin perusteella tiedämme, että:

Sitten voit käyttää jakelutoimintoa:

Myöhemmin kehitämme jokaisella summat, joita meillä on:

Jos ryhmittelemme yhteen kätevästi, meidän on:

Käyttämällä pascal-identiteettiä meidän on:

Lopuksi huomaa, että:

Siksi näemme, että binomiteoreema on täytetty kaikille luonnolliselle numerolle kuuluville "n": lle, ja tämän jälkeen testi päättyy.

Mielenkiintoiset

Kombinaattorilukua (nk) kutsutaan myös binomikertoimeksi, koska juuri binomiaalin (a + b) kehityksessä esiintyy kerroin.ⁿ.

Isaac Newton antoi yleiskuvan tästä lauseesta tapauksessa, jossa eksponentti on todellinen luku; tämä lause tunnetaan Newtonin binomiaaliteorina.

Jo antiikin ajan tämä tulos oli tiedossa tietystä tapauksesta, jossa n = 2. Tämä tapaus mainitaan elementtejä ja Euclides.

viittaukset

1. Johnsonbaugh Richard. Diskreetti matematiikka PHH
2. Kenneth.H. Rosen diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskreetti matematiikka. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskreetti ja yhdistävä matematiikka. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskreetti matematiikka ja Combinatoria