Varignonin teoreettiset esimerkit ja ratkaisut



Varignonin teoria toteaa, että jos missä tahansa nelikulmaisessa pisteessä on jatkuvasti liitetty sivuja, muodostetaan rinnan suunta. Tämä lause on muotoiltu Pierre Varignonilla ja julkaistu vuonna 1731 kirjassa Matematiikan elementit".

Kirjan julkaiseminen tapahtui vuosia hänen kuolemansa jälkeen. Koska Varignon oli se, joka esitti tämän lauseen, rinnakkaisogrammi nimetään hänen nimensä mukaan. Teoreema perustuu euklidiseen geometriaan ja esittää nelikulmaisten geometrisiä suhteita.

indeksi

  • 1 Mikä on Varignonin lause??
  • 2 Esimerkkejä
    • 2.1 Ensimmäinen esimerkki
    • 2.2 Toinen esimerkki
  • 3 Harjoitukset ratkaistu
    • 3.1 Harjoitus 1
    • 3.2 Harjoitus 2
    • 3.3 Harjoitus 3
  • 4 Viitteet

Mikä on Varignonin teoria??

Varignon väitti, että nelikulmion keskipisteiden määrittelemä luku johtaa aina rinnan suuntaan, ja sen pinta-ala on aina puolet nelikulmion alueesta, jos se on tasainen ja kupera. Esimerkiksi:

Kuvassa näkyy nelikulmainen alue, jolla on alue X, jossa puolien keskipisteitä edustaa E, F, G ja H, ja kun ne on liitetty, muodostavat rinnan rinnan. Nelikulmion pinta-ala on muodostettujen kolmioiden alueiden pinta-ala, ja puolet tästä vastaa rinnakkaismittarin aluetta.

Koska rinnakkaisohjelman pinta-ala on puolet nelikulmaisen alueen alueesta, voidaan määrittää kyseisen rin- nakkaimen kehä.

Siten kehä on yhtä suuri kuin nelikulmion diagonaalien pituuksien summa; tämä johtuu siitä, että nelikulmion mediaani on rinnakkaismittarin diagonaalit.

Toisaalta, jos nelikulmion diagonaalien pituudet ovat täsmälleen samat, rinnanogrammi on timantti. Esimerkiksi:

Kuvasta voidaan nähdä, että liittämällä nelikulmion sivujen keskipisteitä saadaan rombi. Toisaalta, jos nelikulmion diagonaalit ovat kohtisuorassa, rinnakkaiskaavio on suorakulmio.

Rinnakkaislista on myös neliö, kun nelikulmion diagonaalit ovat samanpituiset ja myös kohtisuorat.

Teoreemaa ei täytetä ainoastaan ​​tasaisissa nelikulmioissa, vaan se toteutetaan myös avaruusgeometriassa tai suurissa mitoissa; toisin sanoen niissä nelikulmioissa, jotka eivät ole kuperia. Esimerkkinä tästä voi olla oktaedri, jossa keskipisteet ovat kummankin kasvon keskipisteitä ja muodostavat yhdensuuntaisen piipun..

Tällä tavoin, liittämällä eri kuvioiden keskipisteitä, voidaan saada rinnakkaismittareita. Yksinkertainen tapa tarkistaa, onko tämä todella totta, että vastakkaisten sivujen on oltava rinnakkaisia, kun niitä laajennetaan.

esimerkit

Ensimmäinen esimerkki

Vastakkaisten puolien pidentäminen osoittaakseen, että se on rinnakkaismittari:

Toinen esimerkki

Liittymällä timantin keskipisteisiin saamme suorakulmion:

Teoreemaa käytetään nelikulmaisen sivun keskellä sijaitsevien pisteiden yhdistämisessä, ja sitä voidaan käyttää myös muun tyyppisiin pisteisiin, kuten trisektioon, penta-osaan tai jopa äärettömään määrään jaksoja ( nth), jotta voidaan jakaa minkä tahansa nelikulmion sivut osiin, jotka ovat suhteellisia.

Ratkaistut harjoitukset

Harjoitus 1

Kuvassa on neliön ABCD nelikulmainen alue Z, jossa tämän puolen keskipisteet ovat PQSR. Tarkista, että Varignonin suunta on muodostettu.

ratkaisu

Voidaan todentaa, että kun PQSR-pisteisiin liitetään, muodostuu Varignonin rinnakkaiskaavio juuri siksi, että lausunnossa annetaan nelikulmion keskipisteet..

Tämän osoittamiseksi keskipisteet PQSR ovat yhtenäisiä, joten voidaan nähdä, että muodostuu toinen nelikulma. Osoittaaksesi, että kyseessä on rinnakkaismittari, sinun tarvitsee vain piirtää suora viiva pisteestä C pisteeseen A, jotta voit nähdä, että CA on samansuuntainen PQ: n ja RS: n kanssa.

Samalla tavoin PQRS-puolia laajentamalla voidaan huomata, että PQ ja RS ovat samansuuntaisia, kuten seuraavassa kuvassa on esitetty:

Harjoitus 2

Siinä on suorakulmio siten, että kaikkien sen sivujen pituudet ovat yhtä suuret. Yhdistettäessä näiden puolien keskipisteitä muodostuu rombi ABCD, joka on jaettu kahdella diagonaalilla AC = 7cm ja BD = 10cm, jotka vastaavat suorakulmion sivujen mittauksia. Määritä timantti- ja suorakulmion alueet.

ratkaisu

Muistaen, että tuloksena olevan rinnakkaisohjelman alue on puolet nelikulmasta, voit määrittää näiden alueiden tietäen, että diagonaalien mitta on sama kuin suorakulmion sivut. Joten sinun täytyy:

AB = D

CD = d

suorakulmio = (AB * CD) = (10 cm) * 7 cm) = 70 cm2

vinoneliö = A suorakulmio / 2

vinoneliö = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Harjoitus 3

Kuvassa on nelikulmio, jossa on pistettä EFGH, segmenttien pituudet on annettu. Selvitä, onko EFGH: n liitos rinnakkain.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

ratkaisu

Segmenttien pituudet huomioon ottaen on mahdollista tarkistaa, onko segmenttien välinen suhteellisuus; toisin sanoen voimme tietää, ovatko ne rinnakkaisia, liittävät nelikulmion segmentit seuraavalla tavalla:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Sitten suhteellisuus tarkistetaan, koska:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Samalla tavoin, kun piirtää linjaa pisteestä B pisteeseen D, voimme nähdä, että EH on rinnakkainen BD: n kanssa, samoin kuin BD on FG: n kanssa samansuuntainen. Toisaalta EF on samansuuntainen GH: n kanssa.

Tällä tavoin voidaan määrittää, että EFGH on rinnakkaismuoto, koska vastakkaiset sivut ovat samansuuntaisia.

viittaukset

  1. Andres, T. (2010). Matematiikan olympialaiset Tresure. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Tasainen euklidinen geometria. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Geometrian tutkimus. Meksiko: latinalaisamerikkalainen.
  4. Ramo, G. P. (1998). Tuntematon ratkaisu Fermat-Torricellin ongelmiin. ISBN - Itsenäinen työ.
  5. Vera, F. (1943). Geometrian elementit. Bogota.
  6. Villiers, M. (1996). Joitakin seikkailuja euklidisessa geometriassa. Etelä-Afrikka.