Jaa:
Thalas of Miletus ensimmäisenä, toinen ja esimerkit
Ensimmäinen ja toinen Thaleten lause Miletuksesta ne perustuvat määrittämään kolmiot muista vastaavista (ensimmäinen lause) tai kehän (toinen lause). Ne ovat olleet erittäin hyödyllisiä eri aloilla. Esimerkiksi ensimmäinen lause osoittautui erittäin hyödylliseksi suurten rakenteiden mittaamiseen, kun ei ollut kehittyneitä mittauslaitteita.
Thales of Miletus oli kreikkalainen matemaatikko, joka antoi suurta osuutta geometriaan, josta nämä kaksi teemaa erottuivat (joissakin teksteissä ne myös kirjoittavat sen Thalesiksi) ja niiden hyödylliset sovellukset. Näitä tuloksia on käytetty koko historian ajan ja niiden avulla on voitu ratkaista monenlaisia geometrisia ongelmia.
indeksi
- 1 Ensimmäinen tarina
- 1.1 Sovellus
- 1.2 Esimerkkejä
- 2 Teosten toinen lause
- 2.1 Sovellus
- 2.2 Esimerkki
- 3 Viitteet
Talesin ensimmäinen lause
Talesin ensimmäinen lause on erittäin hyödyllinen työkalu, jonka avulla voidaan muun muassa rakentaa kolmiota, joka on samanlainen kuin aikaisemmin tunnettu. Täältä saadaan eri versioita teoreemasta, jota voidaan soveltaa useissa yhteyksissä.
Ennen kuin annat lausunnon, muista muutamia kolmiomerkkien samankaltaisuuden käsitteitä. Pohjimmiltaan kaksi kolmiota ovat samankaltaisia, jos niiden kulmat ovat yhteneviä (niillä on sama mitta). Tämä johtaa siihen, että jos kaksi kolmiota ovat samankaltaisia, niiden vastaavat sivut (tai homologit) ovat suhteellisia.
Thalesin ensimmäisessä lauseessa todetaan, että jos tietyssä kolmiossa suora viiva on yhdensuuntainen minkä tahansa sen sivun kanssa, saatu uusi kolmio on samanlainen kuin alkuperäinen kolmio.
Saat myös muodon muodostamien kulmien välisen suhteen, kuten seuraavassa kuvassa on esitetty.
hakemus
Sen monista sovelluksista erottuu erityistä kiinnostusta ja se liittyy yhteen keinoista, joilla mittaukset tehtiin antiikin aikakauden suurista rakenteista, aika, jolloin Thales asui ja jossa modernit mittauslaitteet eivät olleet käytettävissä. ne ovat nyt olemassa.
Sanotaan, että näin Thales pystyi mittaamaan Egyptin korkeimman pyramidin, Cheopsin. Tätä varten Thales oletti, että aurinkosäteiden heijastukset koskivat maata muodostavia rinnakkaisia viivoja. Tämän olettamuksen mukaan hän tarttui sauvaan tai keppiin pystysuoraan maahan.
Sitten hän käytti kahden syntyneen kolmion samankaltaisuutta, joka muodostui pyramidin varjon pituudesta (joka voidaan helposti laskea) ja pyramidin korkeudesta (tuntematon) ja toinen muodostuu varjon pituuksista. ja sauvan korkeus (joka voidaan myös helposti laskea).
Näiden pituuksien suhteellisuuden avulla voit selvittää ja tunnistaa pyramidin korkeuden.
Vaikka tämä mittausmenetelmä voi antaa merkittävän lähentymisvirheen korkeuden tarkkuuden suhteen ja riippuu auringon säteiden rinnakkaisuudesta (joka puolestaan riippuu tarkasta ajasta), meidän on tunnustettava, että se on hyvin nerokas idea ja joka tarjosi hyvän mittausvaihtoehdon.
esimerkit
Etsi x-arvo kussakin tapauksessa:
ratkaisu
Tässä on kaksi riviä, jotka on leikattu kahdella rinnakkain. Thalesin ensimmäisellä lauseella on, että niiden molemmat puolet ovat suhteellisia. Erityisesti:
ratkaisu
Täällä meillä on kaksi kolmiota, joista toinen on muodostettu segmentin, joka on yhdensuuntainen toisen toisen puolen kanssa (juuri pituus x). Talesin ensimmäisen lauseen mukaan sinun on:
Toinen kertomusten lause
Thalesin toinen lause määrittelee oikean kolmion, joka on merkitty ympärysmittaan jokaisen pisteen kohdalla.
Ympyrän ympärille merkitty kolmio on kolmio, jonka pisteet ovat ympärysmitta, ja siten sisältyvät tähän.
Tarkemmin sanottuna Thalesin toinen lause esittää seuraavaa: kun keskipiste O ja halkaisija AC on ympyrä, kehän jokainen piste B (muu kuin A ja C) määrittää oikean kolmion ABC, jossa on oikea kulma Perusteluina on huomioitava, että sekä OA että OB ja OC vastaavat kehän sädettä; siksi niiden mittaukset ovat samat. Sieltä saadaan, että kolmiot OAB ja OCB ovat samansuuntaisia, missä On tunnettua, että kolmion kulmien summa on 180º. Käyttämällä tätä kolmion ABC avulla sinun on: 2b + 2a = 180 °. Vastaavasti meillä on, että b + a = 90º ja b + a = Huomaa, että Thalesin toisen teeman tarjoama oikea kolmio on juuri se, jonka hypotenuussi on yhtä suuri kuin kehän halkaisija. Siksi se määritetään täysin kolmiopistettä sisältävällä puolipyörällä; tässä tapauksessa ylempi puoliympyrä. Huomaa myös, että oikeassa kolmiossa, joka on saatu Thalesin toisen lauseen avulla, hypotenuse jaetaan kahteen yhtä suureen osaan OA: lla ja OC: lla (säde). Tämä toimenpide on puolestaan sama kuin segmentti OB (myös säde), joka vastaa kolmion ABC mediaania B. Toisin sanoen oikean kolmion ABC mediaanin pituus, joka vastaa huippua B, määräytyy täysin puolet hypotenuusista. Muistakaa, että kolmion keskiarvo on segmentti yhdestä pisteestä vastakkaiselle puolelle; tässä tapauksessa BO-segmentti. Toinen tapa nähdä Thalesin toinen lause on ympyrän kautta, joka on rajattu oikeaan kolmioon. Yleensä monikulmion ympärillä oleva ympyrä koostuu kehästä, joka kulkee kunkin sen huipun läpi, kun se on mahdollista jäljittää. Käyttämällä Thalesin toista teemaa, jossa on oikea kolmio, voimme aina rakentaa ympyrän, joka on rajattu tähän, jolloin säde vastaa puolta hypotenuusista ja ympyrän keskipisteestä (ympärysmitan keskipisteestä), joka on yhtä suuri kuin hypotenuksen keskipiste.. Erittäin tärkeä sovellus Talesin toiselle teoreelle, ja ehkä kaikkein käytetyin, on löytää tangenttiviivat tietylle ympärykselle, sen ulkopuolella olevalle P-pisteelle (tunnettu). Huomioi, että kun ympärysmitta (piirretty alla olevassa kuvassa sinisenä) ja ulkoinen piste P, on kaksi linjaa, jotka tangentuvat P.: n läpi kulkevaan kehään. Olkoon T ja T 'tangenssipisteitä, r kehän säde ja Tai keskusta. On tunnettua, että segmentti, joka kulkee ympyrän keskeltä sen tangentiaalipisteeseen, on kohtisuorassa tangenttilinjaan nähden. Sitten OTP-kulma on suora. Thalesin ensimmäisessä lauseessa ja sen eri versioissa aiemmin havaitsemastamme nähdään, että OTP-kolmio on mahdollista merkitä toiseen kehään (punaisena). Vastaavasti saadaan, että OT'P-kolmio voidaan merkitä samaan edelliseen kehään. Thalesin toisen lauseen mukaan saamme myös, että tämän uuden ympärysmitan halkaisija on juuri kolmiota OTP: n hypotenuusia (joka vastaa kolmion OT'P: n hypotenuusia), ja keskusta on tämän hypotenuksen keskipiste.. Uuden ympärysmitan keskipisteen laskemiseksi riittää, että lasketaan keskikohdan keskipiste - eli M - alku- ympärysmitta (jota jo tiedämme) ja piste P (jota me myös tiedämme). Sitten säde on tämän pisteen M ja P välinen etäisyys. Punaisen ympyrän säteen ja keskipisteen avulla löydämme sen Cartesian yhtälön, jonka muistaa antavan (x-h)2 + (Y-k)2 = c2, jossa c on säde ja piste (h, k) on ympyrän keskipiste. Tietäen nyt molempien kehien yhtälöt, voimme leikata ne ratkaisemalla näiden muodostamien yhtälöiden järjestelmän ja siten saamalla tangenssin T ja T 'pisteet. Lopuksi halutun tangenttilinjan tuntemiseksi riittää, että löydetään T: n ja P: n sekä T ': n ja P: n kautta kulkevien suorien viivojen yhtälö.. Tarkastellaan halkaisijan AC, keskiosan O ja säteen 1 cm kehää. Olkoon B piste kehällä siten, että AB = AC. Kuinka paljon AB mittaa? Thalesin toisella teoksella on, että kolmio ABC on suorakulmio ja hypotenuussi vastaa halkaisijaa, joka tässä tapauksessa on 2 cm (säde on 1 cm). Sitten meidän on Pythagorean lauseella:
Rajattu ympärysmitta
hakemus
esimerkki
ratkaisu
viittaukset