Moivren teoria siitä, mitä sisältää, demonstroinnit ja ratkaistut harjoitukset

Moivren lause soveltaa algebran perusprosesseja, kuten valtuuksia ja juurien poimimista monimutkaisina numeroina. Teoreeman totesi tunnettu ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre (1730), joka liittyi monimutkaisiin numeroihin trigonometriaan.

Abraham Moivre teki tämän yhdistyksen rintojen ja kosinin ilmentymien kautta. Tämä matemaatikko loi sellaisen kaavan, jonka kautta on mahdollista nostaa kompleksiluku z tehoon n, joka on positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 1.

indeksi

• 1 Mikä on Moivre-lause??
• 2 Esittely
  • 2.1 Induktiivinen pohja
  • 2.2 Induktiivinen hypoteesi
  • 2.3 Tarkastus
  • 2.4 Negatiivinen kokonaisluku
• 3 Harjoitukset ratkaistu
  • 3.1 Positiivisten voimien laskeminen
  • 3.2 Negatiivisten voimien laskeminen
• 4 Viitteet

Mikä on Moivre-lause??

Moivren teoreemassa todetaan seuraavaa:

Jos sinulla on monimutkainen numero polaarisessa muodossa z = r_ɵ, jossa r on kompleksiluvun z moduuli ja kulmaa Ɵ kutsutaan minkä tahansa kompleksiluvun amplitudiksi tai argumentiksi, jossa on 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, sen n: nnen tehon laskemiseksi ei ole tarpeen kertoa sitä itse n-kertaa; eli seuraavaa tuotetta ei tarvitse tehdä:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} R_{Ɵ *} R_{Ɵ * ... *} R_ɵ   N-kertainen.

Päinvastoin, lause kertoo, että kun kirjoitetaan z: tä trigonometrisessä muodossaan, lasketaan n: n teho seuraavasti:

Jos z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) sitten zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Jos esimerkiksi n = 2, sitten z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Jos sinulla on n = 3, niin z³ = z² _* z. Lisäksi:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Tällä tavoin voidaan saada aikaan sini- ja kosinin trigonometriset suhteet kulman kerrannaisille, kunhan kulman trigonometriset suhteet ovat tiedossa..

Samalla tavoin sitä voidaan käyttää tarkempien ja vähemmän sekoittavien lausekkeiden löytämiseen monimutkaisen numeron z n: n juurelle niin, että zⁿ = 1.

Moivren teeman esittämiseksi käytetään matemaattisen induktion periaatetta: jos kokonaisluvulla "a" on ominaisuus "P" ja jos jokin kokonaisluku "n" on suurempi kuin "a", jolla on ominaisuus "P", tyydyttää, että n + 1: llä on myös ominaisuus "P", sitten kaikki kokonaisluvut, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin "a", ovat ominaisuus "P".

show

Näin teoreeman todistus tehdään seuraavilla vaiheilla:

Induktiivinen pohja

Tarkista ensin n = 1.

Kuten z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], meillä on, että n = 1: lle lause on täytetty.

Induktiivinen hypoteesi

Oletetaan, että kaava on totta joillekin positiivisille kokonaisluvuille, eli n = k.

z^K = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^K  = r^K (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

testaus

Se on osoittautunut totta n = k + 1.

Kuten z^{k + 1}= z^K _* z, sitten z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^K (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Sitten lausekkeet lisääntyvät:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Hetkeksi r-tekijä jätetään huomiotta^{k + 1},  ja yhteinen tekijä i poistetaan:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Miten i² = -1, korvataan se ilmaisussa ja saamme:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Nyt todellinen ja kuvitteellinen osa tilataan:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

Lausekkeen yksinkertaistamiseksi käytetään kosiniinin ja sinin kulmien summan trigonometrisiä identiteettejä, jotka ovat:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Tässä tapauksessa muuttujat ovat kulmat les ja kƟ. Käytettäessä trigonometrisiä identiteettejä meillä on:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Näin ilmaisu pysyy:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sen [(k + 1) Ɵ]).

Siten voidaan osoittaa, että tulos on totta n = k + 1: lle. Matemaattisen induktion periaatteella päätellään, että tulos on totta kaikkien positiivisten kokonaislukujen osalta; eli n ≥ 1.

Integer negatiivinen

Moivren teoriaa sovelletaan myös silloin, kun n ≤ 0. Tarkastellaan negatiivista kokonaislukua "n"; sitten "n" voidaan kirjoittaa "-m", eli n = -m, jossa "m" on positiivinen kokonaisluku. siksi:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Jotta eksponentti "m" saadaan positiivisesti, lauseke kirjoitetaan käänteisesti:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos m + + _* sen mƟ)

Nyt käytetään sitä, että jos z = a + b * i on kompleksiluku, niin 1 ÷ z = a-b * i. siksi:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Käyttämällä cos (x) = cos (-x) ja että -sen (x) = sin (-x), meidän on:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Tällä tavoin voimme sanoa, että teoria koskee kaikkia n: n kokonaislukuarvoja..

Ratkaistut harjoitukset

Positiivisten voimien laskeminen

Yksi toimista, joissa on monimutkaisia ​​numeroita polaarisessa muodossaan, on näiden kahden kerto- minen; siinä tapauksessa moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään.

Jos sinulla on kaksi monimutkaista numeroa z₁ ja z₂ ja haluat laskea (z₁* z₂)², Sitten jatkamme seuraavaa:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ.)₁ + minä _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ.)₂ + minä _* sen Ɵ₂)]

Jakeluominaisuutta sovelletaan:

z₁z₂ = r₁ R₂ (cos Ɵ.)_{1 *} cos Ɵ₂ + minä _* cos Ɵ_{1 *} minä _* sen Ɵ₂ + minä _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + minä²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Ne on ryhmitelty, kun termi "i" on yleinen ilmaisutekijä:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Miten i² = -1, korvataan ilmaisulla:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Todelliset termit ryhmitellään todellisella ja kuvitteellisella kuvitteellisella:

z₁z₂ = r₁ R₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Lopuksi käytetään trigonometrisiä ominaisuuksia:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Lopuksi:

(z₁* z₂)²= (r₁ R₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²R₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Harjoitus 1

Kirjoita kompleksiluku polaarisessa muodossa, jos z = - 2 -2i. Laske sitten z⁴.

ratkaisu

Kompleksinumero z = -2 -2i ilmaistaan ​​suorakulmaisessa muodossa z = a + bi, jossa:

a = -2.

b = -2.

Tietäen, että polaarinen muoto on z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), sinun on määritettävä "r" -moduulin arvo ja argumentin "Ɵ" arvo. Koska r = √ (a² + b²), annetut arvot korvataan:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Tämän jälkeen "Ɵ": n arvon määrittämiseksi käytetään suorakulmaista muotoa, jonka antaa kaava:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Koska tan (Ɵ) = 1 ja sinun täytyy<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Koska "r" ja "Ɵ" -arvo oli jo saatu, kompleksiluku z = -2 -2i voidaan ilmaista polaarisessa muodossa korvaamalla arvot:

z = 2 2 (cos (5/4) + i _* sen (5Π / 4)).

Nyt Moivre-teoriaa käytetään z: n laskemiseen⁴:

z⁴= 2 2 (cos (5/4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5) + i _* sen (5Π)).

Harjoitus 2

Etsi monimutkaisten numeroiden tuote ilmaisemalla se polaarisessa muodossa:

z1 = 4 (cos 50^tai + minä_* 50 sen^tai)

z2 = 7 (cos 100^tai + minä_* 100 sen^tai).

Laske sitten (z1 * z2) ².

ratkaisu

Ensin muodostetaan tiettyjen numeroiden tuote:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^tai + minä_* 50 sen^tai)] * [7 (cos 100^tai + minä_* 100 sen^tai)]

Sitten kerro moduulit yhteen ja lisää argumentit:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50)^tai + 100^tai) + i_* sen (50. \ t^tai + 100^tai)]

Lauseke on yksinkertaistettu:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^tai + (i_* 150 sen^tai).

Lopuksi käytetään Moivren teemaa:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^tai + (i_* 150 sen^tai)) ² = 784 (cos 300)^tai + (i_* 300 s^tai)).

Negatiivisten voimien laskeminen

Kahden kompleksiluvun z jakaminen₁ ja z₂ polaarisessa muodossaan moduuli on jaettu ja argumentit vähennetään. Siten osamäärä on z₁ ÷ z₂ ja se ilmaistaan ​​seuraavasti:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

Kuten edellisessä tapauksessa, jos haluat laskea (z1 ÷ z2) ³ ensin, tehdään jako ja sitten käytetään Moivre-teoriaa.

Harjoitus 3

ilmoittautua:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

lasketaan (z1 ÷ z2) ³.

ratkaisu

Edellä kuvattujen vaiheiden perusteella voidaan päätellä, että:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

viittaukset

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Moivren teoriasta Trig-identiteeteistä. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematiikan tietosanakirja.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra ja trigonometria.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineaarinen algebra GRAW-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.