Euklidin teoreemakaavat, esittely, sovellus ja harjoitukset

Euklidin teoria osoittaa oikean kolmion ominaisuuksia vetämällä viivan, joka jakaa sen kahteen uuteen oikeaan kolmioon, jotka ovat keskenään samanlaisia ​​ja jotka puolestaan ​​ovat samanlaisia ​​kuin alkuperäinen kolmio; sitten on suhteellisuussuhde.

Euclid oli yksi suurimmista matematiikoista ja muinaisen aikakauden geometeista, jotka esittivät useita tärkeitä teoreettisia esityksiä. Yksi tärkeimmistä on nimi, jolla on laaja sovellus.

Tämä on ollut näin, koska tämä lause selittää yksinkertaisella tavalla oikeassa kolmiossa olevat geometriset suhteet, joissa tämän jalat liittyvät heidän hypoteettikuvioihinsa..

indeksi

• 1 Kaavat ja esittely
  • 1.1 Korkeusperuste
  • 1.2 Jalkojen teoria
• 2 Euklidin teoreettien välinen suhde
• 3 Harjoitukset ratkaistu
  • 3.1 Esimerkki 1
  • 3.2 Esimerkki 2
• 4 Viitteet

Kaavat ja esittely

Eukliden teoreema ehdottaa, että jokaisessa oikeassa kolmiossa, kun viiva piirretään, joka edustaa oikean kulman huippua vastaavaa korkeutta suhteessa hypotenusioon, muodostuu kaksi oikeaa kolmiota alkuperäisestä.

Nämä kolmiot ovat samankaltaisia ​​ja ovat samankaltaisia ​​kuin alkuperäinen kolmio, mikä tarkoittaa, että niiden vastaavat sivut ovat verrannollisia keskenään:

Kolmen kolmion kulmat ovat yhteneviä; toisin sanoen, kun sitä käännetään 180 asteen pisteeseen, kulma on sama. Tämä merkitsee, että jokainen on yhtä suuri.

Tällä tavoin voit myös tarkistaa kolmen kolmion välisen samankaltaisuuden niiden kulmien tasa-arvon avulla. Euklidien kolmioista samankaltaisuudesta muodostuu näiden kahden osuuden suhteet:

- Korkeus-lause.

- Jalkojen teoria.

Tässä lauseessa on laaja sovellus. Antiikissa sitä käytettiin laskemaan korkeudet tai etäisyydet, mikä edustaa suurta etenemistä trigonometriaa varten.

Sitä käytetään tällä hetkellä useilla aloilla, jotka perustuvat matematiikkaan, kuten tekniikkaan, fysiikkaan, kemiaan ja tähtitieteeseen, moniin muihin aloihin..

Korkeus-lause

Tässä lauseessa todetaan, että missä tahansa oikeassa kolmiossa, oikean kulmasta vedetty korkeus suhteessa hypotenuseen on geometrinen suhteellinen keskiarvo (korkeuden neliö) jalkojen ulkonemien välillä, joka määrittää hypotenuksen..

Eli korkeuden neliö on yhtä suuri kuin hypotenuusia muodostavien projisoitujen jalkojen kertolasku:

h_C² = m _* n

show

Koska kolmio ABC, joka on suorakulmio kärjessä C, kun piirtää korkeutta, muodostetaan kaksi samanlaista oikeaa kolmiota, ADC ja BCD; siksi niiden vastaavat puolet ovat oikeasuhteisia:

Näin korkeus h_C joka vastaa segmentti-CD: tä, vastaa hypotenuse AB = c, joten meidän on:

Tämä vastaa puolestaan:

Hypotenuksen selvittäminen (h_C) moninkertaistamaan kaksi tasa-arvoa edustavaa jäsentä:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_C² = m _* n

Niinpä hypotenuksen arvo on:

Jalkojen teoria

Tässä lauseessa todetaan, että missä tahansa oikeassa kolmiossa jokaisen jalan mitta on geometrinen suhteellinen keskiarvo (kunkin jalan neliö) hypotenuksen mittauksen (täydellinen) ja kunkin heijastuksen välillä:

b² = c _* m

että² = c_* n

show

Koska kolmio ABC, joka on suorakulmio kärjessä C siten, että sen hypotenus on c, kun piirtää korkeus (h), määritetään jalkojen a ja b ulkonemat, jotka ovat segmentit m ja n, vastaavasti. hypotenuse.

Siten meillä on, että oikean kolmion ABC korkeus tuottaa kaksi samanlaista oikeaa kolmiota, ADC ja BCD, niin että vastaavat sivut ovat suhteellisia, kuten tämä:

DB = n, joka on CB-haaran projektio hypotenuusissa.

AD = m, joka on katetin AC projektio hypotenuusissa.

Sitten hypotenus c määritetään sen projektioiden jalkojen summan mukaan:

c = m + n

Koska kolmiot ADC ja BCD ovat samankaltaisia, meidän on:

Edellä mainittu on sama kuin:

Selvittämällä jalka "a" moninkertaistamaan kahden tasa-arvon jäsenen on:

että _* a = c _* n

että² = c _* n

Siten jalan "a" arvo on:

Vastaavasti ACB: n ja ADC: n kolmioiden samankaltaisuuden vuoksi meidän on:

Edellä mainittu vastaa:

Selvittämällä jalka "b" moninkertaistamaan kaksi tasa-arvon jäsentä:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Tällöin jalan "b" arvo on:

Euklidien teoreettien välinen suhde

Korkeutta ja jalkoja koskevat teoreemat liittyvät toisiinsa, koska molempien mitta on tehty oikean kolmion hypotenuseen nähden.

Euklidin teoreettien välisen suhteen avulla voidaan myös löytää korkeuden arvo; tämä on mahdollista poistamalla m- ja n-arvot jalka-lauseesta ja ne korvataan korkeus-lauseessa. Tällä tavoin korkeus on yhtä suuri kuin jalkojen kertominen jaettuna hypotenuksella:

b² = c _* m

m = b² ÷ c

että² = c _* n

n = a² ÷ c

Korkeusteoriassa m ja n korvataan:

h_C² = m _* n

h_C² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_C = (b²_* että²) ÷ c

Ratkaistut harjoitukset

Esimerkki 1

Ottaen huomioon kolmion ABC, suorakulmion A, määritä AC: n ja AD: n mitta, jos AB = 30 cm ja BD = 18 cm

ratkaisu

Tällöin on mitattu yksi projisoiduista jaloista (BD) ja yhdestä alkuperäisen kolmion (AB) jaloista. Näin voit käyttää jalka-teemaa etsimään BC-jalka-arvon.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

CD-katetin arvo löytyy tietäen, että BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nyt on mahdollista määrittää katetin AC arvo ja soveltaa uudelleen jalkatekniikkaa:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = 001600 = 40 cm

Korkeuden (AD) arvon määrittämiseksi sovelletaan korkeuditeemaa, koska projisoitujen jalkojen CD ja BD arvot ovat tunnettuja:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

Esimerkki 2

Määritä NN: n kolmion MNL korkeuden (h) arvo tietäen segmenttien mittaukset:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

ratkaisu

Sinulla on yksi hypotenukselle (PM) heijastetut jalat sekä alkuperäisen kolmion jalkojen mittaus. Tällä tavoin voidaan käyttää jalan teemaa toisen projisoidun jalan (LN) arvon löytämiseksi:

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Kuten tiedämme jousien ja hypotenuksen arvon, korkeuden ja jalkojen teoreettien suhteen voidaan määrittää korkeuden arvo:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* että²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

viittaukset

1. Braun, E. (2011). Chaos, fractals ja outoja asioita. Talouskulttuurirahasto.
2. Cabrera, V. M. (1974). Moderni matematiikka, osa 3.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). Kolmannen vuoden matematiikka Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, R. P. (1886). Euklidin geometrian elementit.
6. Guardeño, A. J. (2000). Matematiikan perintö: Euclidista Newtoniin, hänen neroihinsa. Sevillan yliopisto.