Chebyshovin lause, mitä se käsittää, sovellukset ja esimerkit



Chebyshovin lause (tai Chebyshovin eriarvoisuus) on yksi todennäköisyyden teorian tärkeimmistä klassisista tuloksista. Se sallii satunnaismuuttujan X yhteydessä kuvatun tapahtuman todennäköisyyden arvioinnin antamalla meille ulottuvuuden, joka ei riipu satunnaismuuttujan jakautumisesta vaan X: n varianssista.

Teoreema on saanut nimensä venäläisen matematiikan Pafnuty Chebyshovin mukaan (joka on myös kirjoitettu Chebycheviksi tai Tchebycheffiksi), joka ei ollut ensimmäinen, joka ilmaisi tämän teorian, ensimmäinen, joka antoi mielenosoituksen vuonna 1867.

Tätä epätasa-arvoa tai niitä, joita niiden ominaispiirteiden mukaan kutsutaan Chebyshov-eriarvoisuudeksi, käytetään lähinnä todennäköisyyksien lähentämiseen mittojen avulla..

indeksi

  • 1 Mitä se koostuu??
  • 2 Sovellukset ja esimerkit
    • 2.1 Sidontatodennäköisyydet
    • 2.2 Rajateorien esittely
    • 2.3 Näytteen koko
  • 3 Epätasa-arvotyyppi Chebyshov
  • 4 Viitteet

Mitä se koostuu??

Todennäköisyyden teorian tutkimuksessa tapahtuu, että jos tiedämme satunnaismuuttujan X jakautumistoiminnon, voimme laskea sen odotetun arvon - tai matemaattisen odotuksen E (X) - ja sen varianssin Var (X), kunhan mainitut määrät ovat olemassa. Vastavuoroisuus ei kuitenkaan välttämättä ole totta.

E eli X: n (X) ja Var (X) tunteminen ei välttämättä ole mahdollista saada X: n jakautumistoimintoa, joten sellaisten määrien kuten P (| X |> k) joidenkin k> 0: n osalta on hyvin vaikea saada. Mutta Chebyshovin eriarvoisuuden ansiosta on mahdollista arvioida satunnaismuuttujan todennäköisyys.

Chebyshovin lause kertoo meille, että jos meillä on satunnaismuuttuja X näytetilassa S, jonka todennäköisyysfunktio on p, ja jos k> 0, niin:

Sovellukset ja esimerkit

Chebyshovin teoreettisten monien sovellusten joukossa voidaan mainita seuraavat:

Todennäköisyyksien rajoittaminen

Tämä on yleisin sovellus ja sitä käytetään antamaan yläraja P: lle (| X-E (X) | ≥k), jossa k> 0, vain varianssilla ja satunnaismuuttujan X odotuksella tietämättä todennäköisyysfunktiota.

Esimerkki 1

Oletetaan, että yrityksessä viikossa valmistettujen tuotteiden määrä on satunnainen muuttuja, jonka keskiarvo on 50.

Jos tiedämme, että tuotannon viikon varianssi on 25, niin mitä voimme sanoa todennäköisyydestä, että tällä viikolla tuotanto vaihtelee keskimäärin yli 10: llä?

ratkaisu

Chebyshovin eriarvoisuuden soveltaminen edellyttää, että:

Tästä voidaan todeta, että todennäköisyys, että tuotannon viikolla artikkelien määrä ylittää keskimäärin yli 10, on enintään 1/4.

Raja-teoreettien esittely

Chebyshovin eriarvoisuudella on tärkeä rooli tärkeimpien raja-lauseiden esittelyssä. Esimerkkinä olemme seuraavat:

Heikko laki suuria määriä

Tässä laissa säädetään, että riippumattomien satunnaismuuttujien sekvenssi X1, X2, ..., Xn, ..., joilla on sama keskimääräinen jakauma E (Xi) = μ ja varianssi Var (X) = σ2, ja tunnettu keskimääräinen näyte:

Sitten k> 0: lle sinun on:

Tai vastaavasti:

show

Ensinnäkin huomaa seuraavat:

Koska X1, X2, ..., Xn ovat riippumattomia, seuraa, että:

Siksi on mahdollista vahvistaa seuraavat asiat:

Sitten, käyttäen Chebyshovin teemaa, meidän on:

Lopuksi, lause on seurausta siitä, että oikealla oleva raja on nolla, kun n pyrkii äärettömään.

On huomattava, että tämä testi tehtiin vain siinä tapauksessa, jossa Xi: n varianssi on olemassa; se ei siis poikkea toisistaan. Näin ollen havaitsemme, että lause on aina totta, jos E (Xi) on olemassa.

Chebyshovin raja-lause

Jos X1, X2, ..., Xn, ... on itsenäisten satunnaismuuttujien peräkkäinen, niin että on olemassa jokin C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

show

Koska varianssien peräkkäisyys rajoittuu tasaisesti, meillä on Var (Sn) ≤ C / n, kaikille luonnollisille n: lle. Mutta tiedämme, että:

Tekemällä n: tä kohti äärettömyyttä seuraavat tulokset:

Koska todennäköisyys ei voi ylittää arvoa 1, saadaan haluttu tulos. Tämän lauseen seurauksena voisimme mainita Bernoullin nimen.

Jos koe toistetaan n kertaa itsenäisesti kahdella mahdollisella lopputuloksella (epäonnistuminen ja menestys), jossa p on onnistumisen todennäköisyys kussakin kokeessa ja X on satunnaismuuttuja, joka edustaa saatujen onnistumisten lukumäärää, sitten k: lle k> 0 sinun on:

Näytteen koko

Varianssin kannalta Chebyshovin eriarvoisuus antaa meille mahdollisuuden löytää näytekoko n, joka riittää takaamaan, että todennäköisyys, että | Sn-μ |> = k tapahtuu, on niin pieni kuin halutaan, mikä mahdollistaa meille lähentämisen keskiarvoon.

Tarkalleen ottaen olkoon X1, X2, ... Xn näyte itsenäisistä satunnaismuuttujista, joiden koko on n, ja oletetaan, että E (Xi) = μ ja sen varianssi σ2. Sitten Chebyshovin eriarvoisuuden vuoksi meidän on:

esimerkki

Oletetaan, että X1, X2, ... Xn ovat näyte itsenäisistä satunnaismuuttujista, joissa on Bernoulli-jakauma, niin että ne ottavat arvon 1 todennäköisyydellä p = 0,5.

Mikä olisi näytteen koko, jotta voidaan taata, että todennäköisyys, että aritmeettisen keskiarvon Sn ja sen odotetun arvon (yli 0,1) välinen ero on pienempi tai yhtä suuri kuin 0. 01?

ratkaisu

Meillä on E (X) = μ = p = 0,5 ja että Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Chebysovin eriarvoisuuden vuoksi jokaiselle k> 0: lle meidän on:

Nyt kun otetaan k = 0,1 ja δ = 0,01, meidän on:

Tällä tavoin päätellään, että vähintään 2500: n näytekoko on tarpeen sen varmistamiseksi, että tapahtuman todennäköisyys: Sn - 0,5 |> = 0,1 on alle 0,01.

Epätasa-arvoisuus tyyppi Chebyshov

Chebysovin eriarvoisuuteen liittyy erilaisia ​​eriarvoisuuksia. Yksi tunnetuimmista on Markovin eriarvoisuus:

Tässä lausekkeessa X on ei-negatiivinen satunnaismuuttuja, jossa k, r> 0.

Markovin epätasa-arvo voi olla eri muodoissa. Oletetaan esimerkiksi, että Y on ei-negatiivinen satunnaismuuttuja (joten P (Y> = 0) = 1) ja oletetaan, että E (Y) = μ on olemassa. Oletetaan myös, että (E (Y))R= μR on olemassa jokin kokonaisluku r> 1. niin:

Toinen epätasa-arvo on Gaussin epätasa-arvo, joka kertoo meille, että unimodaalinen satunnaismuuttuja X, jossa on tila nollassa, on k> 0,

viittaukset

  1. Kai Lai Chung Elementaarinen toteutettavuusteoria ja stokastiset prosessit. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Todennäköisyys ja tilastosovellukset. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Discrete Mathematics Solved -ongelmat. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Todennäköisyyden teoria ja ongelmat. McGraw-Hill.