Jaa:
Bolzanon teeman selitys, sovellukset ja harjoitukset ratkaistu
Bolzanon lause toteaa, että jos funktio on jatkuva kaikissa suljetun aikavälin [a, b] kohdissa ja on vakuuttunut siitä, että "a": n ja "b": n kuva (toiminnon alla) on vastakkaisia, on ainakin yksi piste "C" avoimessa aikavälissä (a, b) siten, että "c": ssä arvioitu toiminto on yhtä suuri kuin 0.
Tämän teorian totesi filosofi, teologi ja matemaatikko Bernard Bolzano vuonna 1850. Tämä nykypäivän Tšekin tasavallassa syntynyt tiedemies oli yksi historian ensimmäisistä matemaatikoista, jotka esittivät muodollisesti jatkuvien toimintojen ominaisuuksia.
indeksi
- 1 Selitys
- 2 Esittely
- 3 Mitä se on??
- 4 Harjoitukset ratkaistu
- 4.1 Harjoitus 1
- 4.2 Harjoitus 2
- 5 Viitteet
selitys
Bolzanon teoriaa kutsutaan myös väliarvojen teoreemaksi, joka auttaa määrittämään todellisen muuttujan tiettyjen todellisten toimintojen erityisarvoja, erityisesti nollia.
Tietyssä funktiossa f (x) jatkuu - eli että f (a) ja f (b) on yhdistetty käyrällä, jossa f (a) on x-akselin alapuolella (on negatiivinen), ja f (b) on x-akselin yläpuolella (se on positiivinen) tai päinvastoin, graafisesti x-akselilla on leikkauspiste, joka edustaa väliarvoa "c", joka on "a": n ja "b": n välillä ja f (c): n arvo. on 0.
Analysoimalla graafisesti Bolzanon teoriaa, voimme tietää, että jokaiselle funktiolle f, joka on määritelty aikavälillä [a, b], jossa f (a)*f (b) on pienempi kuin 0, kyseisen funktion välein (a, b) tulee olemaan vähintään yksi root "c".
Tämä lause ei määritä kyseisessä avoimessa aikavälissä olevien pisteiden lukumäärää, vain toteaa, että on vähintään 1 piste.
show
Bolzanon lauseen todistamiseksi oletetaan menettämättä yleisyyttä, että f (a) < 0 y f(b) > 0; tällä tavalla voi olla monia arvoja välillä "a" ja "b", joiden osalta f (x) = 0, mutta sinun tarvitsee vain osoittaa, että on olemassa yksi.
Aloita arvioimalla f keskipisteessä (a + b) / 2. Jos f ((a + b) / 2) = 0, testi päättyy täällä; muuten f ((a + b) / 2) on positiivinen tai negatiivinen.
Yksi aikavälin [a, b] puolikkaista on valittu siten, että päätteessä arvioidun funktion merkit ovat erilaiset. Tämä uusi aikaväli on [a1, b1].
Jos nyt f arvioidaan [a1, b1]: n keskipisteessä, se ei ole nolla, sitten suoritetaan sama toiminta kuin aikaisemmin; toisin sanoen valitaan puolet tästä välin, joka täyttää merkkien tilan. Ole tämä uusi aikaväli [a2, b2].
Jos tätä prosessia jatketaan, otetaan kaksi peräkkäistä an ja bn, jolloin:
an kasvaa ja bn vähenee:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Jos lasket kunkin aikavälin [ai, bi] pituuden, sinun on:
b1-a1 = (b-a) / 2.
b2-a2 = (b-a) / 2².
... .
bn-an = (b-a) / 2 ^ n.
Siksi raja, kun n pyrkii olemaan äärettömän (bn-an), on 0.
Käyttämällä tätä a kasvaa ja rajoittaa ja bn on laskussa ja rajoittumassa, on oltava arvo "c", joka:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... A: n raja on "c" ja bn raja on myös "c". Siksi, koska mikä tahansa δ> 0, on aina "n" siten, että aikaväli [an, bn] sisältyy aikaväliin (c-5, c + δ). Nyt on osoitettava, että f (c) = 0. Jos f (c)> 0, niin koska f on jatkuva, on ε> 0 siten, että f on positiivinen koko aikavälin (c-e, c + ε) aikana. Kuitenkin, kuten edellä on mainittu, on olemassa arvo "n" siten, että f muuttuu merkkiin [an, bn] ja lisäksi [an, bn] on sisällä (c-e, c + ε), mikä on ristiriita. Jos f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 siten, että f on negatiivinen koko aikavälillä (c-e, c + ε); mutta on olemassa arvo "n" siten, että f muuttuu kirjautumalla [an, bn]. On käynyt ilmi, että [an, bn] on sisällä (c-e, c + ε), joka on myös ristiriita. Siksi f (c) = 0 ja tämän halusimme osoittaa. Graafisesta tulkinnastaan Bolzanon teoriaa käytetään etsimään juuria tai nollia jatkuvassa toiminnassa, bisection (lähentyminen), joka on inkrementaalinen hakutapa, joka jakaa välit aina 2: een. Ota sitten aikaväli [a, c] tai [c, b], jossa merkki muuttuu, ja toista prosessi, kunnes aikaväli on pienempi ja pienempi, jotta voit lähestyä haluamaasi arvoa; eli arvo, jonka funktio tekee 0: sta. Yhteenvetona voidaan todeta, että Bolzanon teeman soveltamiseksi ja siten juurien löytämiseksi, funktion nollien rajaamiseksi tai yhtälön ratkaisemiseksi suoritetaan seuraavat vaiheet: - Se tarkistetaan, jos f on jatkuva toiminto aikavälillä [a, b]. - Jos aikaväliä ei anneta, on löydettävä, missä toiminto on jatkuvaa. - Todennetaan, jos välin ääriarvot antavat vastakkaisia merkkejä, kun niitä arvioidaan f: ssä. - Jos vastakkaisia merkkejä ei saavuteta, väli tulisi jakaa kahteen osaväliin keskipistettä käyttäen. - Arvioi toiminto keskipisteessä ja tarkista, että Bolzanon hypoteesi on täytetty, missä f (a) * f (b) < 0. - Riippuen havaitun arvon merkistä (positiivisesta tai negatiivisesta) prosessi toistetaan uudella alivälillä, kunnes mainittu hypoteesi on täytetty. Määritä, onko funktio f (x) = x2 - Kuviossa 2 on ainakin yksi todellinen ratkaisu aikavälillä [1,2]. Meillä on funktio f (x) = x2 - 2. Koska se on polynomi, se tarkoittaa, että se on jatkuvaa missä tahansa aikavälissä. Sinua pyydetään selvittämään, onko sinulla todellinen ratkaisu aikavälillä [1, 2], joten nyt sinun tarvitsee vain korvata funktion välissä olevat päät, jotta voit tietää näiden merkin ja tietää, täyttävätkö ne erilaisen tilan: f (x) = x2 - 2 f (1) = 12 - 2 = -1 (negatiivinen) f (2) = 22 - 2 = 2 (positiivinen) Siksi merkki f (1) ≠ merkistä f (2). Näin varmistetaan, että on vähintään yksi piste "c", joka kuuluu aikaväliin [1,2], jossa f (c) = 0. Tässä tapauksessa "c": n arvo voidaan laskea helposti seuraavasti: x2 - 2 = 0 x = ± √2. Siten √2 ≈ 1,4 kuuluu aikaväliin [1,2] ja täyttää sen, että f (√2) = 0. Todista, että yhtälö x5 + x + 1 = 0 sisältää ainakin yhden todellisen ratkaisun. Huomaa ensin, että f (x) = x5 + x + 1 on polynomifunktio, mikä tarkoittaa, että se on jatkuvaa kaikissa todellisissa numeroissa. Tällöin aikaväliä ei anneta, joten arvot tulisi valita intuitiivisesti, edullisesti lähellä 0: ta, jotta voidaan arvioida toimintoa ja etsiä merkkejä: Jos käytät aikaväliä [0, 1]: f (x) = x5 + x + 1. f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0. f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0. Koska merkkiä ei muuteta, prosessi toistetaan toisella aikavälillä. Jos käytät aikaväliä [-1, 0], sinun on: f (x) = x5 + x + 1. f (-1) = (-1)5 + (-1) + 1 = -1 < 0. f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0. Tässä jaksossa on merkin muutos: f (-1) ≠ merkki f (0), mikä tarkoittaa, että funktio f (x) = x5 + x + 1: llä on ainakin yksi todellinen juurella "c" aikavälillä [-1, 0], niin että f (c) = 0. Toisin sanoen on totta, että x5 + x + 1 = 0 on todellinen ratkaisu aikavälillä [-1,0].Mitä se on??
Ratkaistut harjoitukset
Harjoitus 1
ratkaisu
Harjoitus 2
ratkaisu
viittaukset