Matemaattinen logiikka, mitä tutkimuksia, tyyppejä



matemaattinen logiikka tai symbolinen logiikka on matemaattinen kieli, joka sisältää tarvittavat työkalut, joiden avulla voidaan vahvistaa tai evätä matemaattinen perustelu.

On hyvin tunnettua, että matematiikassa ei ole epäselvyyksiä. Matemaattisen väitteen perusteella tämä on pätevä tai yksinkertaisesti ei. Se ei voi olla väärää ja totta samanaikaisesti.

Matematiikan erityinen näkökohta on se, että sillä on muodollinen ja tiukka kieli, jonka avulla voidaan perustella päättelyn pätevyys. Mikä on se, että tietyt perustelut tai matemaattiset todisteet ovat kiistattomia? Tässä on kyse matemaattisesta logiikasta.

Näin ollen logiikka on matematiikan ala, joka vastaa matemaattisen päättelyn ja mielenosoitusten tutkimisesta ja tarjoaa työkalut, joiden avulla voidaan päätellä oikeat johtopäätökset aiemmista lausunnoista tai ehdotuksista.

Tätä varten se hyödyntää aksioomia ja muita matemaattisia näkökohtia, jotka kehitetään myöhemmin.

indeksi

  • 1 Alkuperä ja historia
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Mitä matemaattisia logiikan tutkimuksia?
    • 2.1 Ehdotukset
    • 2.2 Totuuspöydät
  • 3 Matemaattisen logiikan tyypit
    • 3.1 Alueet
  • 4 Viitteet

Alkuperä ja historia

Tarkat päivämäärät matemaattisen logiikan monien näkökohtien suhteen ovat epävarmoja. Useimmat aiheen bibliografiat osoittavat kuitenkin tämän alkuperän muinaiselle Kreikalle.

Aristoteles

Loogisen käsittelyn alku johtuu osittain Aristotelesesta, joka kirjoitti joukon logiikan teoksia, jotka myöhemmin kerättiin ja kehittivät eri filosofit ja tiedemiehet keskiaikaan saakka. Tätä voitaisiin pitää "vanhana logiikkana".

Sitten, mitä kutsutaan nykyaikaiseksi aikakaudeksi, Leibniz, joka liikkuu syvällä halulla luoda matemaattisesti yleinen kieli, ja muut matemaatikot, kuten Gottlob Frege ja Giuseppe Peano, vaikuttivat erityisesti matemaattisen logiikan kehittämiseen suurilla panoksilla muun muassa Peanon aksiaomit, jotka muodostavat luonnollisten numeroiden välttämättömät ominaisuudet.

Matemaatikot George Boole ja Georg Cantor vaikuttivat myös tällä kertaa, sillä niillä oli merkittäviä panoksia joukko teorian ja totuuden taulukkoja, korostamalla muun muassa Boolen algebraa (George Boolen) ja valinnan aksiaalia (George Cantor).

On myös Augustus De Morgan, jolla on tunnetut Morganin lait, jotka harkitsevat hylkäämistä, yhteyksiä, disjunktioita ja ehdollisuutta ehdotusten, symbolien logiikan kehittämisen avainten ja John Vennin kanssa kuuluisien Venn-kaavioiden kanssa.

Bertrand Russell ja Alfred North Whitehead erottuvat 20. vuosisadalla, noin 1910–1913. Principia mathematica, joukko kirjoja, jotka keräävät, kehittävät ja postuloivat sarjan aksioomia ja logiikan tuloksia.

Mitä matemaattisia logiikan tutkimuksia?

ehdotuksia

Matemaattinen logiikka alkaa ehdotusten tutkimuksella. Ehdotus on vakuutus siitä, että ilman epäselvyyttä voidaan sanoa, jos se on totta vai ei. Seuraavassa on esimerkkejä ehdotuksista:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Vuonna 1930 Euroopassa tapahtui maanjäristys.

Ensimmäinen on todellinen ehdotus ja toinen on väärä esitys. Kolmas, vaikka on mahdollista, että henkilö, joka lukee, ei tiedä, onko se totta vai välittömästi, se on lausunto, joka voidaan todentaa ja määrittää, jos se todella tapahtui tai ei.

Seuraavassa on esimerkkejä ilmaisuista, jotka eivät ole ehdotuksia:

  • Hän on blondi.
  • 2x = 6.
  • Pelataan!
  • Pidätkö elokuvateatterista?

Ensimmäisessä ehdotuksessa ei ole määritelty, kuka "hän" on, joten mitään ei voida vahvistaa. Toisessa ehdotuksessa ei ole määritelty, mitä "x" edustaa. Jos sen sijaan sanottiin, että 2x = 6 tietyn luonnollisen luvun x osalta, tässä tapauksessa se vastaa ehdotusta, itse asiassa totta, koska x = 3 se on täytetty.

Kaksi viimeistä lausuntoa eivät vastaa ehdotusta, koska niitä ei voida kieltää tai vahvistaa.

Kaksi tai useampia ehdotuksia voidaan yhdistää (tai yhdistää) tunnettujen liittimien (tai liittimien) avulla. Nämä ovat:

  • Kieltäminen: "Ei sataa".
  • Häiriö: "Luisa osti valkoisen tai harmaan laukun".
  • Yhteys: "42= 16 ja 2 × 5 = 10 ".
  • Ehdollinen: "Jos sataa, en mene kuntosalille tänä iltapäivänä".
  • Biconditional: "Menen kuntosalille tänä iltapäivänä, ja vain, jos se ei sataa".

Ehdotusta, jolla ei ole edellistä sidekappaletta, kutsutaan yksinkertaiseksi ehdotukseksi (tai atomiksi). Esimerkiksi "2 on alle 4", on yksinkertainen ehdotus. Ehdotuksia, joilla on jonkin verran sidekappaletta, kutsutaan yhdistelmäesityksiksi, kuten esimerkiksi "1 + 3 = 4 ja 4 on parillinen luku".

Ehdotusten avulla tehdyt lausunnot ovat yleensä pitkiä, joten on ikävää kirjoittaa niitä aina niin kuin olemme nähneet tähän mennessä. Tästä syystä käytetään symbolista kieltä. Ehdotuksia edustaa yleensä isot kirjaimet, kuten P, Q, R, S, jne. Ja symbolinen sidos on seuraava:

Joten niin

vastavuoroinen ehdollisen ehdotuksen

on ehdotus

Ja contrapositive (tai contrapositive) ehdotuksesta

on ehdotus

Totuuspöydät

Toinen tärkeä logiikan käsite on totuustaulukoiden. Ehdotuksen totuusarvot ovat kaksi mahdollisuutta, jotka ovat käytettävissä ehdotukselle: true (joka merkitään V: llä ja sen totuusarvo sanotaan V: ksi) tai false (joka merkitään F: llä ja sen arvo ilmoitetaan se on todella F).

Yhdistelmäesityksen totuusarvo riippuu yksinomaan siinä esiintyvien yksinkertaisten ehdotusten totuusarvoista.

Yleisempää työskentelyä varten emme ota huomioon erityisiä ehdotuksia, vaan ehdotusmuuttujia p, q, r, s, jne., jotka edustavat ehdotuksia.

Näillä muuttujilla ja loogisilla liitännöillä tunnetut ehdotuskaavat muodostetaan aivan kuten yhdistelmäkirjat rakennetaan.

Jos jokainen ehdotuksellisessa kaavassa esiintyvistä muuttujista korvataan ehdotuksella, saadaan yhdistelmäesitys.

Alla on loogisten yhteyksien totuustaulukot:

On olemassa ehdotettuja kaavoja, jotka saavat vain arvoa V totuustaulukossaan, eli totuustaulukon viimeisessä sarakkeessa on vain arvo V. Tällainen kaava tunnetaan tautologioina. Esimerkiksi:

Seuraavassa on kaavion totuustaulukko

Sanotaan, että kaava α merkitsee loogisesti toista kaavaa β, jos α on tosi joka kerta β on totta. Toisin sanoen α: n ja β: n totuustaulukossa riveillä, joissa α: lla on V, β, on myös V. Vain ne rivit, joilla α: lla on arvo V, ovat kiinnostavia. :

Seuraavassa taulukossa esitetään yhteenveto loogisen vaikutuksen ominaisuuksista:

Sanotaan, että kaksi ehdotuskaavaa ovat loogisesti samanarvoisia, jos niiden totuustaulukot ovat identtisiä. Seuraavaa merkintää käytetään ilmaisemaan loogista vastaavuutta:

Seuraavissa taulukoissa esitetään yhteenveto loogisen vastaavuuden ominaisuuksista:

Matemaattisen logiikan tyypit

On olemassa erilaisia ​​logiikan tyyppejä, varsinkin jos otetaan huomioon filosofiaa osoittava pragmaattinen tai epävirallinen logiikka, muun muassa.

Matematiikan osalta logiikan tyypit voitaisiin tiivistää seuraavasti:

  • Muodollinen tai aristotelainen logiikka (antiikin logiikka).
  • Propositiivinen logiikka: vastaa siitä, että tutkitaan kaikkea, joka liittyy muodollista kieltä käyttävien argumenttien ja ehdotusten pätevyyteen sekä symboliseen.
  • Symbolinen logiikka: keskittyi joukkoihin ja niiden ominaisuuksiin, myös muodolliseen ja symboliseen kieleen, ja on syvästi sidoksissa ehdotuslogiikkaan.
  • Yhdistelmälogiikka: yksi äskettäin kehitetyistä, sisältää tuloksia, jotka voidaan kehittää algoritmeilla.
  • Looginen ohjelmointi: käytetään eri paketeissa ja ohjelmointikielissä.

alueet

Niistä alueista, jotka käyttävät matemaattista logiikkaa välttämättömällä tavalla perustelujensa ja argumenttiensa kehittämisessä, ne korostavat filosofiaa, sarjateoriaa, lukuteoriaa, rakentavaa algebrallista matematiikkaa ja ohjelmointikieliä..

viittaukset

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logiikka, setit ja numerot. Mérida - Venezuela: Julkaisujen neuvosto, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., ja Soto, A. (1998). Numeroteorian esittely. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Numeroteorian peruskurssi. Pohjoisen yliopisto.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Matemaattisen loogisen perustelun kehittäminen. University Editorial.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Lukujen teoria. Toimituksellinen visio-kirjat.