Vektori algebra-perusteet, magnitudit, vektorit



vektorialgebra on matematiikan haara, joka vastaa lineaaristen yhtälöiden, vektorien, matriisien, vektoritilojen ja niiden lineaaristen muunnosten järjestelmien tutkimisesta. Se liittyy muun muassa suunnitteluun, differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, toiminnalliseen analyysiin, toiminnan tutkimukseen, tietokonegrafiikkaan..

Toinen alue, joka on ottanut lineaarisen algebran käyttöön, on fysiikka, koska sen kautta on kehitetty fyysisten ilmiöiden tutkimiseen, kuvaten niitä vektorien avulla. Tämä on mahdollistanut maailmankaikkeuden paremman ymmärtämisen.

indeksi

  • 1 Perusteet
    • 1.1 Geometrisesti
    • 1.2 Analyyttisesti
    • 1.3 Aksiomaattisesti
  • 2 Suuruudet
    • 2.1 Scalar-arvo
    • 2.2 Vektorikoko
  • 3 Mitä ovat vektorit?
    • 3.1 Moduuli
    • 3.2 Osoite
    • 3.3 Sense
  • 4 Vektorien luokittelu
    • 4.1 Kiinteä vektori
    • 4.2 Vapaa vektori
    • 4.3 Liukuva vektori
  • 5 Vektorien ominaisuudet
    • 5.1 equipolentes Vektorit
    • 5.2 Vastaavat vektorit
    • 5.3 Vektorien tasa-arvo
    • 5.4 Vastakkaiset vektorit
    • 5.5 Yksikkövektori
    • 5.6 Null-vektori
  • 6 Vektorin komponentit
    • 6.1 Esimerkkejä
  • 7 Toiminta vektorien kanssa
    • 7.1 Vektorien lisääminen ja vähentäminen
    • 7.2 Vektorien kertolasku
  • 8 Viitteet

perustukset

Vektorialgebra syntyi kvaternionien (reaalilukujen laajennus) 1, i, j ja k tutkimuksesta sekä Gesbesin ja Heavisiden edistämästä Cartesian geometriasta, joka huomasi, että vektorit toimivat välineenä edustavat erilaisia ​​fyysisiä ilmiöitä.

Vektorialgebraa tutkitaan kolmen perustan kautta:

geometrisesti

Vektorit edustavat linjoja, joilla on suunta, ja sellaiset toiminnot kuin lisäys, vähentäminen ja kertominen reaaliluvuilla määritellään geometristen menetelmien avulla.

analyyttisesti

Vektoreiden kuvaus ja niiden toiminta tehdään numeroilla, joita kutsutaan komponenteiksi. Tämän tyyppinen kuvaus on geometrisen esityksen tulos, koska käytetään koordinaattijärjestelmää.

aksiomaattisesti

Vektoreiden kuvaus tehdään koordinaattijärjestelmästä tai mistä tahansa geometrisesta esityksestä riippumatta.

Avaruuslukujen tutkimus tehdään heidän edustuksensa avulla vertailujärjestelmässä, joka voi olla yhdessä tai useammassa ulottuvuudessa. Tärkeimmät järjestelmät ovat:

- Yksiulotteinen järjestelmä, joka on linja, jossa yksi piste (O) edustaa alkuperää ja toinen piste (P) määrittää asteikon (pituuden) ja sen suunnan:

- Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (kaksiulotteinen), joka koostuu kahdesta kohtisuorasta linjasta, joita kutsutaan x-akseliksi ja y-akseliksi, jotka kulkevat pisteen (O) alkuperän läpi; tällä tavalla kone on jaettu neljään alueeseen, joita kutsutaan kvadrantteiksi. Tällöin pisteessä oleva piste (P) annetaan akseleiden ja P: n välisten etäisyyksien perusteella.

- Polaarikoordinaattijärjestelmä (kaksiulotteinen). Tällöin järjestelmä koostuu pisteestä O (alkuperä), jota kutsutaan napaksi ja säteeksi, jonka alkuperä on O, jota kutsutaan polaariseksi akseliksi. Tässä tapauksessa tason piste P, viitaten napaan ja polaariseen akseliin, saadaan kulmasta (Ɵ), joka muodostuu alkuperän ja pisteen P välisestä etäisyydestä..

- Suorakulmainen kolmiulotteinen järjestelmä, joka on muodostettu kolmesta kohtisuorasta viivasta (x, y, z), joiden alkupiste on avaruudessa O. Kolme koordinaattitasoa muodostetaan: xy, xz ja yz; tila jaetaan kahdeksaksi alueeksi, joita kutsutaan oktanteiksi. Tilan piste P viittaa tasojen ja P: n välisiin etäyksiin.

suuruudet

Suuruus on fyysinen määrä, joka voidaan laskea tai mitata numeerisen arvon avulla, kuten joidenkin fyysisten ilmiöiden tapauksessa; kuitenkin usein on tarpeen kuvata näitä ilmiöitä muiden tekijöiden kanssa, jotka eivät ole numeerisia. Siksi suuruusluokit luokitellaan kahteen tyyppiin:

Scalarin suuruus

Ne ovat määriä, jotka on määritelty ja esitetty numeerisesti; toisin sanoen moduuli yhdessä mittayksikön kanssa. Esimerkiksi:

a) Aika: 5 sekuntia.

b) Massa: 10 kg.

c) Tilavuus: 40 ml.

d) Lämpötila: 40ºC.

Vektorikoko

Ne ovat määriä, jotka moduuli määrittelee ja edustaa yhdessä yksikön kanssa, sekä tunteen ja suunnan mukaan. Esimerkiksi:

a) Nopeus: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Kiihtyvyys: 13 m / s2; S 45º E.

c) Voima: 280 N, 120º.

d) Paino: -40 ĵ kg-f.

Vektorit edustavat vektorimittoja graafisesti.

Mitä ovat vektorit?

Vektorit ovat vektorimaailman graafisia esityksiä; toisin sanoen ne ovat suoraviivaisia ​​segmenttejä, joissa niiden lopullinen pää on nuolen kärki.

Nämä määräytyvät niiden moduulin tai segmentin pituuden mukaan, niiden merkitys on osoitettu nuolen kärjellä ja niiden suunnassa sen linjan mukaan, johon ne kuuluvat. Vektorin alkuperä tunnetaan myös sovelluskohtana.

Vektorin elementit ovat seuraavat:

moduuli

Se on etäisyys alkuperäisestä vektorin päähän, jota edustaa reaaliluku yhdessä yksikön kanssa. Esimerkiksi:

| OM | = | A | = A = 6 cm

osoite

Se on kulma, joka on x-akselin (positiivisesta) ja vektorin välisestä kulmasta, sekä kardinaalipisteitä (pohjoinen, etelä, itä ja länsi)..

tunne

Se annetaan vektorin päässä sijaitsevalla nuolenpäällä, joka osoittaa, mihin se on otsikossa.

Vektorien luokittelu

Yleensä vektorit luokitellaan seuraavasti:

Kiinteä vektori

Se on se, jonka hakupiste (alkuperä) on vahvistettu; toisin sanoen, että se pysyy sidoksissa tilan kohtaan, miksi sitä ei voida siirtää tässä.

Vapaa vektori

Se voi liikkua vapaasti avaruudessa, koska sen alkuperä siirtyy mihin tahansa kohtaan muuttamatta sen moduulia, järkeä tai suuntaa.

Liukuva vektori

Se on se, joka voi siirtää alkuperänsä toimintalinjallaan muuttamatta sen moduulia, järkeä tai suuntaa.

Vektorien ominaisuudet

Vektorien pääominaisuuksia ovat seuraavat:

Equipolentes-vektorit

Ne ovat niitä vapaita vektoreita, joilla on sama moduuli, suunta (tai ne ovat samansuuntaisia) ja jotka tuntevat liukuvektorin tai kiinteän vektorin.

Vastaavat vektorit

Se tapahtuu, kun kahdella vektorilla on sama osoite (tai ovat samansuuntaisia), samassa mielessä, ja vaikka niillä on erilaisia ​​moduuleja ja sovelluspisteitä, ne aiheuttavat samat vaikutukset.

Vektorien tasa-arvo

Niillä on sama moduuli, suunta ja tunne, vaikka niiden lähtöpisteet ovat erilaisia, mikä mahdollistaa rinnakkaisen vektorin liikkumisen itsensä vaikuttamatta siihen..

Vastakkaiset vektorit

Ne ovat ne, joilla on sama moduuli ja suunta, mutta niiden merkitys on päinvastainen.

Vektoriyksikkö

Se on se, jossa moduuli on yhtä suuri kuin yksikkö (1). Tämä saadaan jakamalla vektori sen moduulilla ja sitä käytetään määrittämään vektorin suunta ja tunne joko tasossa tai avaruudessa käyttäen pohjaa tai yksikkökohtaisia ​​normalisoituja vektoreita, jotka ovat:

Null-vektori

Se on se, jonka moduuli on 0; toisin sanoen niiden lähtöpaikka ja äärimmäinen samankaltaisuus samassa kohdassa.

Vektorin komponentit

Vektorin komponentit ovat vertailujärjestelmän akseleiden vektorin projektioiden arvoja; Vektorin hajoamisesta riippuen, joka voi olla kahdessa tai kolmiulotteisessa akselissa, saadaan kaksi tai kolme komponenttia, vastaavasti.

Vektorin komponentit ovat reaalilukuja, jotka voivat olla positiivisia, negatiivisia tai jopa nolla (0).

Jos siis meillä on vektori Â, joka on peräisin suorakulmaisesta koordinaatistosta xy (kaksiulotteisessa) tasossa, x-akselin projektio on Āx ja y-akselin projektio on Āy. Siten vektori ilmaistaan ​​sen komponenttivektoreiden summana.

esimerkit

Ensimmäinen esimerkki

Meillä on vektori Â, joka alkaa alkuperästä ja sen päiden koordinaatit. Siten vektori  = (Âx;ja) = (4; 5) cm.

Jos vektori  toimii kolmiulotteisen kolmion koordinaattijärjestelmän (avaruudessa) x, y, z, lähtökohtaan toiseen pisteeseen (P), sen akseleiden ulkonemat ovat Āx, Āy ja Āz; siten vektori ilmaistaan ​​sen kolmen komponenttivektorin summana.

Toinen esimerkki

Meillä on vektori Â, joka alkaa alkuperästä ja sen päiden koordinaatit. Siten vektori  = (Ax;ja; z) = (4; 6; -3) cm.

Vektoreita, joiden suorakulmaiset koordinaatit ovat, voidaan ilmaista niiden perusvektoreina. Tätä varten vain jokainen koordinaatti on kerrottava sen vastaavalla yksikkövektorilla siten, että tasolle ja tilalle ne ovat seuraavat:

Tasolle: Â = Axi + Ajaj.

Tilaa varten: Â = Axi + Ajaj + AzK.

Toiminta vektorien kanssa

On monia suuruuksia, joilla on muun muassa moduuli, tunne ja suunta, kuten kiihtyvyys, nopeus, siirtymä, voima..

Niitä sovelletaan tieteen eri osa-alueilla ja niiden soveltamiseksi on joissakin tapauksissa tarpeen suorittaa vektoreiden ja skalaarien lisääminen, vähentäminen, kertominen ja jakaminen..

Vektorien lisääminen ja vähentäminen

Vektoreiden lisääminen ja vähentäminen katsotaan yhdeksi algebralliseksi toiminnaksi, koska vähennys voidaan kirjoittaa summana; esimerkiksi vektorien  ja Ē vähennys voidaan ilmaista seuraavasti:

 - Ē = Ā + (-Ē)

On olemassa erilaisia ​​menetelmiä vektorien lisäämisen ja vähentämisen suorittamiseksi: ne voivat olla graafisia tai analyyttisiä.

Graafiset menetelmät

Käytetään, kun vektorissa on moduuli, tunne ja suunta. Tätä varten piirretään viivoja, jotka muodostavat kuvan, joka auttaa myöhemmin määrittämään tuloksena olevan. Tunnetuimpia ovat seuraavat:

Rinnakkaismenetelmä

Kahden vektorin lisäyksen tai vähennyksen tekemiseksi valitaan koordinaattiakselille yhteinen piste, joka edustaa vektoreiden alkupistettä, säilyttäen sen moduulin, suunnan ja suunnan..

Sitten linjat vedetään vektoreiden kanssa yhdensuuntaisesti rinnakkaismerkin muodostamiseksi. Tuloksena oleva vektori on diagonaali, joka lähtee molempien vektoreiden alkupisteestä rinnakkaisohjelman huippuun asti:

Kolmion menetelmä

Tässä menetelmässä vektorit sijoitetaan seuraavaksi toisiinsa, säilyttäen niiden moduulit, suunnat ja suunnat. Tuloksena oleva vektori on ensimmäisen vektorin alkuperän liitos toisen vektorin loppuun:

Analyyttiset menetelmät

Voit lisätä tai vähentää kaksi tai useampia vektoreita geometrisen tai vektorimenetelmän avulla:

Geometrinen menetelmä

Kun kaksi vektoria muodostavat kolmion tai rinnan, tuloksena olevan vektorin moduuli ja suunta voidaan määrittää käyttämällä sinia ja kosinin lakeja. Siten tuloksena olevan vektorin moduuli, joka soveltaa kosinin lakia ja kolmion menetelmää, on:

Tässä kaavassa β on kulma, joka on vastapäätä sivua R, ja tämä on 180 ° - º.

Sitä vastoin rinnakkaisogrammamenetelmällä tuloksena oleva vektorimoduuli on:

Tuloksena olevan vektorin suunta annetaan kulmalla (a), joka muodostaa tuloksena olevan vektorin kanssa.

Sinisen lain mukaan vektoreiden lisääminen tai vähentäminen voidaan tehdä myös kolmio- tai rinnakkaisohjelmamenetelmällä, tietäen, että jokaisessa kolmiossa sivut ovat verrannollisia kulmien rintojen kanssa:

Vector-menetelmä

Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla: riippuen niiden suorakulmaisista koordinaateista tai niiden perusvektoreista.

Se voidaan tehdä siirtämällä lisättävät tai vähennettävät vektorit koordinaattien alkuperään, ja sitten kaikki tasot (x, y) tai tila (x, y) kullakin akselilla olevat ulokkeet. ja z); lopuksi sen komponentit lisätään algebraalisesti. Joten koneen osalta se on:

Tuloksena olevan vektorin moduuli on:

Vaikka tila on:

Tuloksena olevan vektorin moduuli on:

Kun suoritetaan vektoria, käytetään useita ominaisuuksia, jotka ovat:

- Assosiatiivinen ominaisuus: tuloksena oleva ei muutu lisäämällä ensin kaksi vektoria ja sitten lisäämällä kolmas vektori.

- Kommutatiivinen ominaisuus: vektoreiden järjestys ei muuta tulosta.

- Vektorin jakautumisominaisuus: jos skalaari kerrotaan kahden vektorin summan kanssa, se on yhtä suuri kuin skalaarin kertominen kullekin vektorille.

- Scalar-jakautumisominaisuus: jos vektori kerrotaan kahden skalaarin summalla, se on yhtä suuri kuin vektorin kertominen kullekin skalaarille.

Vektorien moninkertaistaminen

Vektoreiden kertolasku tai tuote voidaan tehdä lisäyksenä tai vähennyksenä, mutta näin menettää fyysisen merkityksen ja sitä ei koskaan löydetä sovelluksissa. Siksi yleisesti käytetyimmät tuotteet ovat skalaari- ja vektorituote.

Scalar-tuote

Se tunnetaan myös kahden vektorin pistetuotteena. Kun kahden vektorin moduulit kerrotaan niiden välissä muodostuvan pienen kulman kosiniin, saadaan skalaari. Jos haluat sijoittaa skalaarituotteen kahden vektorin väliin, niiden väliin sijoitetaan piste, joka voidaan määritellä seuraavasti:

Kahden vektorin välissä olevan kulman arvo riippuu siitä, ovatko ne rinnakkaiset tai kohtisuorat; Joten sinun on:

- Jos vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​ja niillä on sama merkitys, kosiini 0º = 1.

- Jos vektorit ovat samansuuntaisia ​​ja niillä on vastakkaiset aistit, kosiini 180º = -1.

- Jos vektorit ovat kohtisuorassa, kosiini 90º = 0.

Tämä kulma voidaan myös laskea tietäen, että:

Skalaarituotteella on seuraavat ominaisuudet:

- Kommutatiivinen ominaisuus: vektorien järjestys ei muuta skalaaria.

-Jakeluominaisuus: jos skalaari kerrotaan kahden vektorin summalla, se on yhtä suuri kuin skalaarin kertominen kullekin vektorille.

Vektorituote

Kahden vektorin A ja B vektorin kertolasku tai ristituote johtaa uuteen vektoriin C ja ilmaistaan ​​käyttämällä vektorien välistä ristiä:

Uudella vektorilla on omat ominaisuutensa. Näin:

- Suunta: tämä uusi vektori on kohtisuorassa tasoon nähden, jonka alkuperäiset vektorit määräävät.

- Ajatus: tämä määräytyy oikean käden säännön mukaan, jossa vektoria A pyöritetään kohti B: tä osoittamalla pyörimissuuntaa sormilla ja peukalolla vektorin tunnus on merkitty.

- Moduuli: määräytyy vektorien AxB moduulien kertomisella näiden vektorien välissä olevan pienimmän kulman siniaalalla. Se ilmaistaan:

Kahden vektorin välissä olevan kulman arvo riippuu siitä, ovatko ne rinnakkaiset tai kohtisuorat. Sitten on mahdollista vahvistaa seuraavat asiat:

- Jos vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​ja niillä on sama merkitys, sin 0º = 0.

- Jos vektorit ovat samansuuntaisia ​​ja niillä on vastakkaiset aistit, sini 180º = 0.

- Jos vektorit ovat kohtisuorassa, sini 90º = 1.

Kun vektorituote ilmaistaan ​​sen perusvektoreina, sen on:

Skalaarituotteella on seuraavat ominaisuudet:

- Se ei ole kommutatiivinen: vektoreiden järjestys muuttaa skalaaria.

- Jakeluominaisuus: jos skalaari kerrotaan kahden vektorin summalla, se on yhtä suuri kuin skalaarin kertominen kullekin vektorille.

viittaukset

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Yksinkertainen lineaarinen regressio". Luontomenetelmät .
  2. Angel, A. R. (2007). Elementaarinen algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr to Vectorial esimerkkeissä. Moskova: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineaarinen algebra ja sen sovellukset. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineaarinen algebra: Vektoritila. Euklidinen vektoritila. Alicanten yliopisto.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineaarinen algebra isänmaa.