Morganin lakit



LMorganin silmät ne ovat ehdotuksen logiikassa käytettyjä päätelmiä, jotka määrittelevät, mikä on seuraus hylkäämisestä ja ehdotusten tai ehdotusmuuttujien yhdistämisestä. Nämä lait määritteli matemaatikko Augustus De Morgan.

Morganin lait ovat erittäin hyödyllinen työkalu matemaattisen päättelyn pätevyyden osoittamiseksi. Myöhemmin heidät yleistettiin matematiikan George Boolen käsitteiden joukossa.

Tämä Boolen tekemä yleistys on täysin samanlainen kuin Morganin alkuperäiset lait, mutta se on kehitetty nimenomaan joukkoihin eikä ehdotuksiin. Tämä yleistyminen tunnetaan myös Morganin laeina.

indeksi

  • 1 Ehdotuslogiikan katsaus
    • 1.1 Putoaminen
    • 1.2 Ehdotukset
  • 2 Morganin lait
    • 2.1 Esittely
  • 3 Asettaa
    • 3.1 Unioni, risteys ja täydennykset sarjoihin
  • 4 Morganin lakit sarjaa varten
  • 5 Viitteet

Ehdotetun logiikan tarkastelu

Ennen kuin tarkastellaan Morganin lakeja ja sitä, miten niitä käytetään, on kätevää muistaa joitakin perustavanlaatuisia ehdotuksia logiikasta. (Lisätietoja on ehdotuksen logiikan artikkelissa).

Matemaattisen (tai ehdotuksen) logiikan alalla päätelmä on johtopäätös, joka lähetetään joukosta tiloja tai hypoteeseja. Tämä päätelmä yhdessä mainittujen tilojen kanssa johtaa matemaattiseen päättelyyn.

Tätä päättelyä on voitava osoittaa tai evätä; toisin sanoen kaikki matemaattisen päättelyn päätelmät tai päätelmät eivät ole päteviä.

harhaluulo

Tiettyjen oletusten, jotka oletetaan olevan totta, aiheuttama väärä johtopäätös tunnetaan harhaanjohtavuutena. Hämärillä on erityispiirteitä, jotka ovat oikeat argumentit, mutta matemaattisesti ne eivät ole.

Propositiivinen logiikka vastaa menetelmien kehittämisestä ja tarjoamisesta, joiden avulla voidaan ilman epäselvyyttä validoida tai kumota matemaattista päättelyä; toisin sanoen päätellä, että tiloissa on voimassa oleva päätelmä. Näitä menetelmiä kutsutaan päätelmäsäännöiksi, joista Morganin lait ovat osa.

ehdotuksia

Ehdotuksen logiikan olennaiset osat ovat ehdotuksia. Ehdotukset ovat lausuntoja, joista voidaan sanoa, ovatko ne päteviä vai eivät, mutta että ne eivät voi olla samanaikaisesti totta tai vääriä. Tässä asiassa ei pitäisi olla epäselvyyttä.

Aivan kuten numerot voidaan yhdistää lisäämällä, vähentämällä, kertomalla ja jakautumisella, ehdotuksia voidaan käyttää tunnettujen sidekanavien (tai liittimien) avulla, jotka ovat loogisia: negation (¬, "no"), disjunktio (V , "O"), yhdistelmä (Ʌ, "ja"), ehdollinen (→, "jos ..., sitten ...") ja kaksoissäätö (↔, "kyllä, ja vain jos").

Yleisempää työskentelyä ajatellen harkitsemme erityisiä ehdotuksia sen sijaan, että harkitsisimme ehdotuksellisia muuttujia, jotka edustavat mitä tahansa ehdotuksia, ja ne on yleensä merkitty pienillä kirjaimilla p, q, r, s jne..

Ehdotuskaava on yhdistelmä ehdotuksellisia muuttujia joidenkin loogisten sidosten kautta. Toisin sanoen se on ehdotusmuuttujien koostumus. Ne on yleensä merkitty kreikkalaisilla kirjaimilla.

Sanotaan, että ehdotettu kaava merkitsee loogisesti toista, kun jälkimmäinen on totta joka kerta, kun ensimmäinen on totta. Tätä merkitsee:

Kun kahden ehdotuskaavan välinen looginen merkitys on vastavuoroinen - ts. Kun edellinen seuraus on voimassa myös vastakkaiseen suuntaan, kaavojen sanotaan olevan loogisesti ekvivalentteja, ja sitä merkitään

Looginen vastaavuus on eräänlainen tasa-arvo ehdotusten kaavojen välillä ja mahdollistaa sen korvaamisen toiselle tarvittaessa.

Morganin lakit

Morganin lait koostuvat kahdesta loogisesta vastaavuudesta kahden ehdotusmuodon välillä:

Nämä lait sallivat erottaa disjunktion tai yhteyden kielteisyyden kyseisten muuttujien kielteisiksi.

Ensimmäinen voidaan lukea seuraavasti: disjunktion hylkääminen on yhtä suuri kuin negatiivisten yhteyksien. Ja toinen lukee näin: yhdistyksen kieltäminen on kielteisten kieltojen hajoaminen.

Toisin sanoen kahden ehdotetun muuttujan disjunktion kieltäminen vastaa molempien muuttujien kieltojen yhdistelmää. Samoin kahden ehdotetun muuttujan yhdistämisen kieltäminen vastaa molempien muuttujien kieltojen hajoamista.

Kuten edellä mainittiin, tämän loogisen vastaavuuden korvaaminen auttaa osoittamaan tärkeitä tuloksia yhdessä muiden olemassa olevien päätelmäsääntöjen kanssa. Näiden avulla voit yksinkertaistaa monia ehdotuksellisia kaavoja, jotta ne ovat käyttökelpoisempia.

Seuraavassa on esimerkki matemaattisista todisteista, joissa käytetään Morganin lakeja. Erityisesti on osoitettu, että kaava:

vastaa:

Jälkimmäinen on yksinkertaisempaa ymmärtää ja kehittää.

show

On syytä mainita, että Morganin lakien pätevyys voidaan osoittaa matemaattisesti. Yksi tapa on vertailla totuustaulukoita.

setit

Samoja päätelmäsääntöjä ja ehdotuksiin sovellettavia logiikan käsitteitä voidaan myös kehittää ottaen huomioon sarjat. Tätä kutsutaan Boolen algebraksi matematiikan George Boolen jälkeen.

Tapahtumien erottamiseksi on tarpeen muuttaa merkintää ja siirtoa sarjoihin, kaikki ajatukset, jotka on jo nähty ehdotuslogiikassa.

Sarja on kokoelma esineitä. Sarjat merkitään suurilla kirjaimilla A, B, C, X, ja joukon elementtejä merkitään pienillä kirjaimilla a, b, c, x jne. Kun elementti a kuuluu ryhmään X, sitä merkitsee:

Kun se ei kuulu X: ään, merkintä on:

Tapa edustaa sarjaa on sijoittaa niiden elementit avainten sisällä. Esimerkiksi luonnollisten numeroiden joukkoa edustaa:

Sarjat voidaan myös esittää ilman, että kirjoitetaan nimenomaista luetteloa niiden elementeistä. Ne voidaan ilmaista muodossa :. Kaksi pistettä luetaan "niin, että". Sarjan elementtejä edustava muuttuja asetetaan kahden pisteen vasemmalle puolelle, ja niiden täyttämä omaisuus tai tila asetetaan oikealle puolelle. Tämä on:

Esimerkiksi kokonaislukuja, jotka ovat suurempia kuin -4, voidaan ilmaista seuraavasti:

Tai vastaavasti ja lyhennettynä:

Vastaavasti seuraavat ilmaisut edustavat parillisten ja parittomien numeroiden sarjaa:

Unioni, risteys ja täydennykset sarjoihin

Seuraavaksi näemme loogisen sidekkeen analogit sarjoissa, jotka ovat osa joukkoiden välistä peruskäyttöä.

Unioni ja risteys

Ryhmien liitos ja risteys määritellään vastaavasti seuraavalla tavalla:

Harkitse esimerkiksi sarjaa:

Sitten sinun on:

täydennys

Sarjan täydennys muodostuu elementeistä, jotka eivät kuulu kyseiseen sarjaan (samantyyppinen kuin alkuperäinen). Sarjan A täydennys on merkitty seuraavasti:

Esimerkiksi luonnollisten lukujen sisällä parillisten numeroiden joukon komplementti on parittomien lukujen joukko ja päinvastoin.

Sarjan täydennyksen määrittämiseksi on alusta lähtien oltava selkeä yleismaailmallinen tai tärkein elementtien joukko, joita tarkastellaan. Esimerkiksi ei ole yhtä mieltä siitä, että rationaalisten numeroiden joukko täydentää luonnollisia lukuja.

Seuraavassa taulukossa esitetään suhteet tai analogiat, jotka esiintyvät aikaisemmin määritellyissä joukkoissa olevien operaatioiden ja ehdotuslogiikan sidosryhmien välillä:

Morganin lakit sarjoiksi

Lopuksi Morganin lakisarjat ovat:

Sanoin: liiton täydennys on täydennysten leikkauspiste, ja risteyksen täydennys on täydennysten liitos.

Matemaattinen todiste ensimmäisestä tasa-arvosta olisi seuraava:

Toisen esittely on analoginen.

viittaukset

  1. Almaguer, G. (2002). Matematiikka 1. Toimituksellinen Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Logiikka, setit ja numerot. Mérida - Venezuela: Julkaisujen neuvosto, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., ja Soto, A. (1998). Numeroteorian esittely. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Numeroteorian peruskurssi. Pohjoisen yliopisto.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Matemaattisen loogisen perustelun kehittäminen. University Editorial.
  6. Guevara, M. H. (s.f.). Numeroiden teoria. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Lukujen teoria. Toimituksellinen visio-kirjat.