Lineaarinen interpolointimenetelmä, ratkaistu harjoitus

lineaarinen interpolointi on menetelmä, joka on peräisin Newtonin yleisestä interpoloinnista ja jonka avulla voidaan määrittää likiarvolla tuntemattoman arvon, joka on kahden tietyn numeron välillä; toisin sanoen on väliarvo. Sitä sovelletaan myös likimääräisiin toimintoihin, joissa arvot f_(A) ja f_(B) ne ovat tunnettuja ja haluat tietää f: n välituotteen_(X).

On olemassa erilaisia ​​interpolointityyppejä, kuten lineaarinen, neliö-, kuutiometrinen ja korkeampi laatu, yksinkertaisin on lineaarinen lähentäminen. Lineaarisella interpoloinnilla maksettava hinta on se, että tulos ei ole yhtä tarkka kuin korkeampien luokkien funktioiden arvioinnilla..

indeksi

• 1 Määritelmä
• 2 Menetelmä
• 3 Harjoitukset ratkaistu
  • 3.1 Harjoitus 1
  • 3.2 Harjoitus 2
• 4 Viitteet

määritelmä

Lineaarinen interpolointi on prosessi, jonka avulla voit päätellä arvon kahdesta hyvin määritellystä arvosta, jotka voivat olla taulukossa tai lineaarisessa kaaviossa.

Jos esimerkiksi tiedät, että 3 litraa maitoa on arvoltaan 4 dollaria ja että 5 litraa on arvoltaan 7 dollaria, mutta haluat tietää, mikä on 4 litran maitoa, interpoloida sen väliarvon määrittämiseksi.

menetelmä

Funktion väliarvon arvioimiseksi funktio f on lähellä_(X) suoran r: n avulla_(X), mikä tarkoittaa, että funktio vaihtelee lineaarisesti "x": llä venytyksen "x = a" ja "x = b" osalta; eli "x" -arvoa aikavälillä (x₀, x₁) ja (ja₀, ja₁), "y" -arvo annetaan pisteiden välisellä rivillä ja se ilmaistaan ​​seuraavalla suhteessa:

(ja - ja₀) ÷ (x - x₀) = (ja₁ - ja₀) ÷ (x₁ - x₀)

Jotta interpolointi olisi lineaarinen, on välttämätöntä, että interpolointipolynomi on asteittain (n = 1), niin että se mukautuu x: n arvoihin.₀ ja x_1.

Lineaarinen interpolointi perustuu kolmioiden samankaltaisuuteen, niin että geometrisesti edellisestä lausekkeesta johtuen voimme saada arvon "y", joka edustaa tuntemattoman arvon "x": lle..

Näin sinun on:

a = tan Ɵ = (vastakkaisella puolella₁ ÷ viereinen jalka₁) = (vastakkaisella puolella₂ ÷ viereinen jalka₂)

Toisin sanoen se on:

(ja - ja₀) ÷ (x - x₀) = (ja₁ - ja₀) ÷ (x₁ - x₀)

Sinulla on:

(ja - ja₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (ja₁ - ja₀)

(ja - ja₀) = (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Näin saadaan lineaarisen interpoloinnin yleinen yhtälö:

y = y_{0 +} (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Yleensä lineaarinen interpolointi antaa pienen virheen todellisen funktion todelliselle arvolle, vaikka virhe on minimaalinen verrattuna siihen, jos valitset intuitiivisesti numeron, joka on lähellä sitä, jonka haluat löytää.

Tämä virhe ilmenee, kun yrität arvioida käyrän arvoa suoralla viivalla; näissä tapauksissa aikavälin kokoa on pienennettävä, jotta lähentäminen olisi tarkempi.

Paremman tuloksen saavuttamiseksi lähestymistavassa on suositeltavaa käyttää interpoloinnin suorittamiseksi luokan 2, 3 tai jopa korkeamman asteen toimintoja. Näissä tapauksissa Taylor-lause on erittäin hyödyllinen työkalu.

Ratkaistut harjoitukset

Harjoitus 1

Seuraavassa taulukossa on esitetty bakteerien lukumäärä, joka on inkubaatiossa x tunnin jälkeen. Haluat tietää, mikä on bakteerien määrä 3,5 tuntia.

ratkaisu

Vertailutaulukko ei anna arvoa, joka ilmaisee bakteerien määrää 3,5 tunnin ajan, mutta sillä on korkeampia ja pienempiä arvoja, jotka vastaavat vastaavasti 3 ja 4 tunnin aikaa. Näin:

x₀ = 3 ja₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 ja₁ = 135

Nyt käytetään matemaattista yhtälöä interpoloidun arvon löytämiseksi, joka on seuraava:

y = y_{0 +} (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Sitten vastaavat arvot korvataan:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113.

Täten saadaan, että 3,5 tunnin ajan bakteerien määrä on 113, mikä edustaa välitasoa 3 ja 4 tunnin aikana esiintyvien bakteerien tilavuuden välillä..

Harjoitus 2

Luisilla on jäätelötehdas, ja hän haluaa tehdä tutkimuksen selvittääkseen, mitä tuloja hänellä oli elokuussa tehdyistä kuluista. Yhtiön johtaja tekee graafin, joka ilmaisee tämän suhteen, mutta Luis haluaa tietää:

Mitkä ovat elokuun tulot, jos kustannukset olivat 55 000 dollaria??

ratkaisu

Kaaviossa on tuottojen ja kulujen arvot. Luis haluaa tietää, mitä elokuun tulot ovat, jos tehtaan kustannukset olivat 55 000 dollaria. Tämä arvo ei heijastu suoraan kuvaajassa, mutta arvot ovat suuremmat ja pienemmät.

Ensin tehdään taulukko, jossa arvot voidaan yhdistää helposti:

Interpolointikaavaa käytetään nyt y: n arvon määrittämiseen

y = y_{0 +} (ja₁ - ja₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Sitten vastaavat arvot korvataan:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) _* [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* (0,588)

y = 56 000 + 12 936

y = 68,936 dollaria.

Jos elokuussa tehtiin 55 000 dollarin kustannukset, tulot olivat 68 936 dollaria.

viittaukset

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Geometrisen ryhmän teorian aiheet. University of Chicago Press.
3. Hazewinkel, M. (2001). Lineaarinen interpolointi ", matematiikan tietosanakirja.
4. , J. M. (1998). Tekniikan numeeristen menetelmien elementit. UASLP.
5. , E. (2002). Interpoloinnin aikajärjestys: antiikin tähtitieteestä moderniin signaalin- ja kuvankäsittelyyn. IEEE: n toimet.
6. numeerinen, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.