Jaa:
Euklidisen geometrian historia, perusajatukset ja esimerkit
Euklidinen geometria vastaa sellaisten geometristen tilojen ominaisuuksien tutkimusta, joissa Euklidin aksiaalit täyttyvät. Vaikka tätä termiä käytetään joskus siihen, että se käsittää geometriat, joilla on erinomaiset mitat ja samankaltaiset ominaisuudet, se on yleensä synonyymi klassisen geometrian tai litteän geometrian kanssa..
Kolmannella vuosisadalla a. C. Euclid ja hänen opetuslapsensa kirjoittivat elementtejä, teos, joka sisälsi matemaattisen tietämyksen ajasta, jolla oli looginen-deduktiivinen rakenne. Sittemmin geometriasta on tullut tiede, joka aluksi ratkaisee klassiset ongelmat ja on kehittynyt muotoilevaksi tiedoksi, joka auttaa perustelemaan.
indeksi
- 1 Historia
- 2 Peruskäsitteet
- 2.1 Yhteiset käsitteet
- 2.2 Postulaatiot tai aksioomat
- 3 Esimerkkejä
- 3.1 Ensimmäinen esimerkki
- 3.2 Toinen esimerkki
- 3.3 Kolmas esimerkki
- 4 Viitteet
historia
Euklidisen geometrian historiasta puhuminen on välttämätöntä aloittaa Aleksandriasta ja Euklidista elementtejä.
Kun Egypti oli Ptolemaioksen I kädessä, Aleksanteri Suuren kuoleman jälkeen hän aloitti projektinsa Aleksandrian koulussa.
Koulujen opettajia olivat Euclid. On spekuloitu, että hänen syntymänsä on noin 325 a. C. ja hänen kuolemansa 265 a. C. Voimme varmasti tietää, että hän meni Platonin kouluun.
Yli kolmekymmentä vuotta Euclid opetti Alexandria, rakentaa hänen kuuluisa elementtejä: hän alkoi kirjoittaa tyhjentävä kuvaus matematiikan hänen aikansa. Eukliden opetukset tuottivat erinomaisia opetuslapsia, kuten Archimedes ja Apgonius of Perga.
Euclid oli vastuussa klassisten kreikkalaisten erilaisten löytöjen jäsentämisestä elementtejä, mutta toisin kuin sen edeltäjät, se ei rajoitu pelkästään vahvistamaan, että lause on totta; Euclides tarjoaa esittelyn.
elementtejä Ne ovat yhteenveto kolmestatoista kirjasta. Raamatun jälkeen se on eniten julkaistu kirja, jossa on yli tuhat painos.
elementtejä on Euclidin mestariteos geometrian alalla, ja se tarjoaa kahden ulottuvuuden (taso) ja kolmen ulottuvuuden (avaruus) geometrian lopullisen käsittelyn, joka on lähtökohta siitä, mitä nyt tiedämme euklidisena geometriana.
Peruskäsitteet
Elementit koostuvat määritelmistä, yleisistä käsitteistä ja postulaateista (tai aksioomeista), joita seuraa teoreemat, rakenteet ja esittelyt.
- Yksi asia on se, jolla ei ole osia.
- Linja on pituus, jolla ei ole leveyttä.
- Suora viiva on se, joka on yhtä lailla suhteessa tässä oleviin pisteisiin.
- Jos kaksi viivaa leikataan niin, että viereiset kulmat ovat yhtä suuret, kulmia kutsutaan suoriksi ja viivoja kutsutaan kohtisuoriksi..
- Rinnakkaiset linjat ovat niitä, jotka ovat samassa tasossa, eikä niitä koskaan leikata.
Näiden ja muiden määritelmien jälkeen Euclid esittää luettelon viidestä postulaatista ja viidestä käsitteestä.
Yhteiset käsitteet
- Kaksi asiaa, jotka ovat yhtä suuria kuin kolmasosa, ovat yhtä suuria.
- Jos samoja asioita lisätään samoihin asioihin, tulokset ovat samat.
- Jos samoja asioita vähennetään samoista asioista, tulokset ovat samat.
- Toiset vastaavat toisiaan.
- Yhteensä on suurempi kuin osa.
Postulaatit tai aksioomat
- Kaksi eri pistettä yksi ja vain yksi rivi kulkee.
- Suorat viivat voivat ulottua loputtomiin.
- Voit piirtää ympyrän millä tahansa keskellä ja millä tahansa säteellä.
- Kaikki oikeat kulmat ovat samat.
- Jos suora viiva ylittää kaksi suoraa viivaa siten, että saman puolen sisäiset kulmat nousevat alle kahteen oikeaan kulmaan, kaksi riviä leikkaavat tältä puolelta.
Tätä viimeistä postulaattia kutsutaan parallien postulaatiksi, ja se muotoiltiin seuraavasti: "Jos linjan ulkopuolella on piste, voit piirtää yhden rinnan tietyn rivin kanssa".
esimerkit
Seuraavaksi joitakin elementtejä ne osoittavat geometristen tilojen ominaisuuksia, joissa Eucliden viisi postulaattia täyttyvät; Lisäksi ne kuvaavat tämän matemaatikon käyttämää loogista-deduktiivista päättelyä.
Ensimmäinen esimerkki
Ehdotus 1.4. (LAL)
Jos kahdessa kolmiossa on kaksi sivua ja niiden välinen kulma on yhtä suuri, muut sivut ja muut kulmat ovat yhtä suuret.
show
Olkoon ABC ja A'B'C kaksi kolmiota, joiden AB = A'B ', AC = A'C' ja kulmat BAC ja B'A'C 'vastaavat. Siirry kolmioon A'B'C 'niin, että A'B' yhtyy AB: n kanssa ja että kulma B'A'C 'vastaa kulmaa BAC.
Sitten linja A'C yhtyy linjaan AC, niin että C 'yhtyy C: hen. Sitten postulaatilla 1 linjan BC on sama kuin linjan B'C'. Siksi nämä kaksi kolmiota ovat samansuuntaisia ja siten niiden kulmat ja sivut ovat yhtä suuret.
Toinen esimerkki
Ehdotus 1.5. (Pons Asinorum)
Jos kolmiossa on kaksi tasa-arvoista puolta, nämä sivut ovat vastakkaiset.
show
Oletetaan, että kolmiolla ABC on samat sivut AB ja AC.
Sitten kolmioilla ABD ja ACD on kaksi yhtäläistä sivua ja niiden välinen kulma on yhtä suuri. Niinpä ehdotuksella 1.4 kulmat ABD ja ACD ovat yhtä suuret.
Kolmas esimerkki
Ehdotus 1.31
Voit rakentaa rivin, joka on yhdensuuntainen tietyn pisteen antaman linjan kanssa.
rakentaminen
Kun linja L ja piste P, vedetään suora M, joka kulkee P: n läpi ja leikkautuu L. Sitten suora linja N piirtää P: n, joka leikkaa L. Nyt jäljitämme P: llä suoran N, joka leikkaa M: n, joka leikkaa M: n, muodostetaan kulma, joka on sama kuin L: n kanssa M: n kanssa.
vakuutus
N on L: n kanssa.
show
Oletetaan, että L ja N eivät ole yhdensuuntaisia ja leikkaavat pisteessä A. Olkoon B piste L: n yläpuolella A. Harkitse linjaa O, joka kulkee B: n ja P.: n kautta. kaksi suoraa.
Sitten 1,5: llä linjan O on leikattava M: n toisella puolella olevaan linjaan L, niin että L ja O leikkaavat kahteen pisteeseen, mikä on ristiriidassa postulaatin 1 kanssa..
viittaukset
- Euclid. Geometrian elementit. Meksikon kansallinen autonominen yliopisto
- Euclides. Eucliden ensimmäiset kuusi kirjaa ja yhdestoista ja kahdestoistaosa
- Eugenio Filloy Yague. Euklidisen geometrian didaktiikka ja historia
- K.Ribnikov. Matematiikan historia Mir Editorial
- Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuelan C.A Toimituksellinen.