Synteettinen jakomenetelmä ja ratkaisut

synteettinen jako se on yksinkertainen tapa jakaa polynomi P (x) millä tahansa muodosta d (x) = x - c. Se on erittäin hyödyllinen työkalu, koska sen lisäksi, että voimme jakaa polynomeja, se antaa meille mahdollisuuden arvioida polynomia P (x) missä tahansa numerossa c, joka puolestaan ​​kertoo tarkalleen, onko tämä numero nolla tai ei polynomia.

Divisioonialgoritmin ansiosta tiedämme, että jos meillä on kaksi polynomia P (x) ja d (x) ei ole vakio, on polynomeja q (x) ja r (x) ainutlaatuinen siten, että on totta, että P (x) = q (x) d (x) + r (x), jossa r (x) on nolla tai pienempi kuin q (x). Näitä polynomeja kutsutaan osamääräksi ja vastaavasti jäännökseksi tai levyksi.

Jos polynomi d (x) on muotoa x-c, synteettinen jako antaa meille lyhyen tavan löytää kuka on q (x) ja r (x).

indeksi

• 1 Synteettinen jakomenetelmä
• 2 Harjoitukset ratkaistu
  • 2.1 Esimerkki 1
  • 2.2 Esimerkki 2
  • 2.3 Esimerkki 3
  • 2.4 Esimerkki 4
• 3 Viitteet

Synteettinen jakomenetelmä

Olkoon P (x) = a_nxⁿ+että_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polynomi, jonka haluamme jakaa, ja d (x) = x-c jakaja. Jako jakautumalla synteettisellä jakomenetelmällä tapahtuu seuraavasti:

1- Me kirjoitamme ensimmäisessä rivissä P (x): n kertoimet. Jos jokin X: n teho ei tule näkyviin, asetamme sen nollaan.

2- Toisessa rivissä vasemmalla puolella a_n aseta c ja piirrä jakolinjat seuraavassa kuvassa esitetyllä tavalla:

3 - Alennetaan johtava kerroin kolmanteen riviin.

Tässä ilmaisussa b_n-1= a_n

4 - Kerrotaan c johtavalla kertoimella b_n-1 ja tulos on kirjoitettu toiseen riviin, mutta oikealla olevaan sarakkeeseen.

5 - Lisäämme sarakkeen, johon kirjoitimme edellisen tuloksen ja sen tuloksen, jonka olemme asettaneet sen summan alle; eli samassa sarakkeessa, kolmas rivi.

Lisäämällä meillä on tuloksena_n-1+c * b_n-1, joka mukavuutta varten kutsutaan b_n-2

6- Kerroimme c edellisen tuloksen ja kirjoitamme tuloksen oikealle toisessa rivissä.

7- Toistamme vaiheet 5 ja 6, kunnes saavutamme kertoimen a₀.

8- Kirjoita vastaus; eli osamäärä ja jäännös. Kun olemme tehneet asteen n polynomin jakautumisen asteen 1 polynomin välillä, meillä on, että asteen n-1 vakava jako.

Kertoimen polynomin kertoimet ovat kolmannen rivin numerot viimeistä lukuun ottamatta, mikä on jakauman jäljellä oleva polynomi tai loppuosa.

Ratkaistut harjoitukset

Esimerkki 1

Suorita seuraava jako synteettisen jakomenetelmän avulla:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

ratkaisu

Ensin kirjoitamme osinkokertoimet seuraavasti:

Sitten kirjoitamme c vasemmalle puolelle, toiselle riville jaottolinjojen kanssa. Tässä esimerkissä c = -1.

Pienennämme johtavaa kerrointa (tässä tapauksessa b_n-1 = 1) ja kerrotaan arvolla -1:

Kirjoitamme tulokset toisella rivillä oikealle alla olevan kuvan mukaisesti:

Lisäämme numerot toiseen sarakkeeseen:

Kerrotaan 2 ja -1 ja kirjoitamme tulos kolmannessa sarakkeessa, toinen rivi:

Lisämme kolmanteen sarakkeeseen:

Menemme analogisesti, kunnes saavutamme viimeisen sarakkeen:

Siten meillä on, että viimeinen saatu numero on loput jakautumisesta, ja loput numerot ovat osamäärän polynomin kertoimia. Tämä kirjoitetaan seuraavasti:

Jos haluamme varmistaa, että tulos on oikea, riittää, että varmistetaan, että seuraava yhtälö on täytetty:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Voimme siis varmistaa, että saatu tulos on oikea.

Esimerkki 2

Suorita seuraava polynomien jakaminen synteettisen jakomenetelmän avulla

(7x³-x + 2): (x + 2)

ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on termi x² se ei näy, joten kirjoitamme kertoimensa 0: ksi. Joten polynomi olisi kuin 7x³+0x²-x + 2.

Kirjoitamme niiden kertoimet peräkkäin, tämä on:

Kirjoitamme arvon C = -2 toiselle riville vasemmalle puolelle ja piirtää jakolinjat.

Pienennämme johtavaa kerrointa b_n-1 = 7 ja kerromme se -2: lla, kirjoittamalla sen tulos oikealla olevalla toisella rivillä.

Lisäämme ja jatkamme kuten aiemmin selitettiin, kunnes saavutamme viimeisen aikavälin:

Tässä tapauksessa loput ovat r (x) = - 52 ja saatu osuus on q (x) = 7x²-14x + 27.

Esimerkki 3

Toinen tapa käyttää synteettistä jakoa on seuraava: Oletetaan, että meillä on asteen n polynomi P (x) ja haluamme tietää, mikä on arvo arvioitaessa sitä x = c.

Divisioonan algoritmilla on, että voimme kirjoittaa polynomin P (x) seuraavalla tavalla:

Tässä lausekkeessa q (x) ja r (x) ovat osamäärä ja loput vastaavasti. Nyt, jos d (x) = x- c, kun arvioidaan c: ssä polynomissa, löydämme seuraavat:

Tätä varten tarvitsemme vain löytää r (x), ja tämä voidaan tehdä synteettisen jaon ansiosta.

Esimerkiksi meillä on polynomi P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37 ja haluamme tietää, mikä on sen arvo, kun sitä arvioidaan x = 5. Tätä varten suoritetaan jakaminen P (x) ja d (x) = x -5 välillä synteettisen jakomenetelmän avulla:

Kun operaatiot on tehty, tiedämme, että voimme kirjoittaa P (x) seuraavasti:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Sen vuoksi meidän on arvioitava sitä:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) + 179 (5) + 858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kuten näemme, on mahdollista käyttää synteettistä jakoa polynomin arvon löytämiseksi, kun sitä arvioidaan c: ssä sen sijaan, että yksinkertaisesti korvataan c: llä x: llä. 

Jos yritimme arvioida P (5): tä perinteisellä tavalla, meidän olisi suoritettava joitakin laskelmia, jotka ovat yleensä tylsiä.

Esimerkki 4

Polynomien jakamisen algoritmi täyttyy myös polynomeille, joilla on monimutkaiset kertoimet, ja siksi meillä on, että synteettinen jakomenetelmä toimii myös mainituille polynomeille. Seuraavaksi näemme esimerkin.

Käytämme synteettistä jakomenetelmää osoittamaan, että z = 1+ 2i on polynomin P (x) = x nolla.³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); toisin sanoen jakauman P (x) loppuosa välillä d (x) = x - z on nolla.

Jatkamme kuten aikaisemmin: ensimmäisessä rivissä kirjoitamme P (x): n kertoimet, sitten toisessa kirjoitamme z ja piirtää jakolinjat.

Teimme jakauman kuten aikaisemmin; tämä on:

Näemme, että jäännös on nolla; siksi päätellään, että z = 1+ 2i on P (x): n nolla.

viittaukset

1. Baldor Aurelio. algebra. Patrian toimittajaryhmä.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Kuvaaja, numeerinen, algebrallinen 7. painos Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Pearson Education.
5. Punainen. Armando O. Algebra 1 6th Ed. Athenaeum.