Erillisten todennäköisyysominaisuuksien ja harjoitusten jakaumat



Diskreettiset todennäköisyysjakaumat ovat funktiota, jolla määritetään jokainen osa X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., jossa X on diskreetti satunnaismuuttuja annettu ja S on näytteen tila, todennäköisyys, että tapahtuman. Tämä funktio f X (S), joka määritellään f (xi) = P (X = xi) kutsutaan joskus pistetodennäköisyysfunktio.

Tämä todennäköisyyksien massa esitetään yleensä taulukossa. Koska X on diskreetti satunnaismuuttuja, X: llä (S) on rajallinen määrä tapahtumia tai laskettava ääretön. Yleisimpiä diskreettisiä todennäköisyysjakaumia on yhdenmukainen jakauma, binomijakauma ja Poisson-jakauma.

indeksi

  • 1 Ominaisuudet
  • 2 tyyppiä
    • 2.1 Yhtenäinen jakautuminen n-pisteisiin
    • 2.2 Binomijakauma
    • 2.3 Poisson-jakauma
    • 2.4 Hypergeometrinen jakauma
  • 3 Harjoitukset ratkaistu
    • 3.1 Ensimmäinen harjoitus
    • 3.2 Toinen harjoitus
    • 3.3 Kolmas harjoitus
    • 3.4 Kolmas harjoitus
  • 4 Viitteet

piirteet

Todennäköisyyden jakotoiminnon on täytettävä seuraavat ehdot:

Myös, jos X kestää vain rajallinen määrä arvoja (esimerkiksi x1, x2, ..., xn), sitten p (xi) = 0, jos i> n, ja näin ollen, ääretön sarja ehto b tulee rajallinen määrä.

Tämä toiminto täyttää myös seuraavat ominaisuudet:

Olkoon B satunnaismuuttujaan X liittyvä tapahtuma. Tämä tarkoittaa, että B on X: ssä (S). Oletetaan erityisesti, että B = xi1, xi2, .... siksi:

Toisin sanoen: tapahtuman B todennäköisyys on yhtä suuri kuin B: hen liittyvien yksittäisten tulosten todennäköisyyksien summa.

Tästä voidaan päätellä, että jos a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

tyyppi

Yhtenäinen jakautuminen n-pisteisiin

Sanotaan, että satunnaismuuttuja X seuraa jakaumaa, jolle on tunnusomaista, että se on yhtenäinen n-pisteissä, jos jokaiselle arvolle annetaan sama todennäköisyys. Sen todennäköisyysmassatoiminto on:

Oletetaan, että meillä on kokeilu, jolla on kaksi mahdollista lopputulosta, se voi olla kolikon heittäminen, jonka mahdolliset tulokset ovat kasvot tai leima, tai koko numeron valinta, jonka tulos voi olla parillinen numero tai pariton luku; tällainen kokeilu tunnetaan Bernoullin testeinä.

Yleensä kahta mahdollista tulosta kutsutaan menestykseksi ja epäonnistumiseksi, jossa p on onnistumisen todennäköisyys ja 1-p epäonnistumisen todennäköisyys. Voimme määrittää x-menestysten todennäköisyyden n Bernoulli-testeissä, jotka ovat toisistaan ​​riippumattomia seuraavalla jakelulla.

Binomijakauma

Juuri tämä funktio edustaa todennäköisyyttä saada x menestystä n itsenäisissä Bernoulli-testeissä, joiden onnistumisen todennäköisyys on p. Sen todennäköisyysmassatoiminto on:

Seuraava kaavio esittää todennäköisyyden funktiomassaa binomijakauman parametrien eri arvoille.

Seuraava jakelu on nimensä velkaa ranskalaiselle matemaatikalle Simeon Poissonille (1781-1840), joka sai sen binomijakauman rajana..

Poisson-jakauma

Sanotaan, että satunnaismuuttujalla X on parametrin λ Poisson-jakauma, kun se voi ottaa positiivisia kokonaislukuarvoja 0,1,2,3, ... seuraavalla todennäköisyydellä:

Tässä lausekkeessa λ on kunkin ajanjakson tapahtuman esiintymiä vastaava keskiarvo, ja x on tapahtuman tapahtumien lukumäärä.

Sen todennäköisyysmassatoiminto on:

Seuraavaksi kuvaaja, joka esittää todennäköisyyden massatoimintoa Poisson-jakauman parametrien eri arvoille.

Huomaa, että niin kauan kuin onnistumisten lukumäärä on alhainen ja binomijakaumassa suoritettujen testien lukumäärä n on suuri, voimme aina arvioida nämä jakaumat, koska Poisson-jakauma on binomijakauman raja..

Näiden kahden jakauman tärkein ero on se, että kun binomi riippuu kahdesta parametrista - nimittäin n ja p -, Poisson'n riippuu vain λ: sta, jota joskus kutsutaan jakautumisen intensiteetiksi..

Toistaiseksi olemme puhuneet vain todennäköisyysjakaumista tapauksissa, joissa eri kokeet ovat toisistaan ​​riippumattomia; toisin sanoen kun jokin muu tulos ei vaikuta yhden tulokseen.

Kun kokeiden tekeminen ei ole itsenäistä, hypergeometrinen jakauma on erittäin hyödyllinen.

Hypergeometrinen jakauma

Olkoon N äärellisen joukon objektien kokonaislukumäärä, josta voimme tunnistaa k: n jollakin tavalla, muodostaen alaryhmän K, jonka komplementin muodostavat jäljellä olevat N-k-elementit.

Jos valitsemme satunnaisesti n-objektit, satunnaismuuttuja X, joka edustaa K: een kuuluvien kohteiden lukumäärää siinä valinnassa, on parametrien N, n ja k hypergeometrinen jakauma. Sen todennäköisyysmassatoiminto on:

Seuraava kaavio esittää todennäköisyyden funktion massaa hypergeometrisen jakauman parametrien eri arvoille.

Ratkaistut harjoitukset

Ensimmäinen harjoitus

Oletetaan, että todennäköisyys, että tietyntyyppiseen laitteistoon sijoitettu radioputki toimii yli 500 tuntia, on 0,2. Jos testataan 20 putkea, mikä on todennäköisyys, että tarkasti k näistä toimii yli 500 tuntia, k = 0, 1,2, ..., 20?

ratkaisu

Jos X on yli 500 tuntia kestävien putkien lukumäärä, oletamme, että X: llä on binomijakauma. sitten

Ja niin:

K≥11: lle todennäköisyydet ovat pienempiä kuin 0,001

Niinpä voimme nähdä, miten todennäköisyys, että nämä k toimii yli 500 tuntia, nousee, kunnes se saavuttaa maksimiarvonsa (k = 4) ja alkaa alkaa laskea.

Toinen harjoitus

Kolikko heitetään 6 kertaa. Kun tulos on kallis, sanomme, että se on menestys. Mikä on todennäköisyys, että kaksi kasvot tulevat ulos?

ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on se, että n = 6 ja sekä onnistumisen että epäonnistumisen todennäköisyys ovat p = q = 1/2

Siksi kahden kasvotuksen todennäköisyys (eli k = 2) on

Kolmas harjoitus

Mikä on todennäköisyys löytää ainakin neljä kasvot?

ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on k = 4, 5 tai 6

Kolmas harjoitus

Oletetaan, että 2% tehtaalla tuotetuista tuotteista on viallinen. Etsi todennäköisyys P, että 100 kappaleen näytteessä on kolme viallista kohdetta.

ratkaisu

Tässä tapauksessa voisimme soveltaa binomijakaumaa n = 100 ja p = 0,02, jolloin saatiin:

Koska p on pieni, käytämme Poisson-lähentymistä arvolla λ = np = 2. niin,

viittaukset

  1. Kai Lai Chung Elementaarinen toteutettavuusteoria ja stokastiset prosessit. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Todennäköisyys ja tilastosovellukset. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Discrete Mathematics Solved -ongelmat. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Todennäköisyyden teoria ja ongelmat. McGraw-Hill.