Algebralliset johdannaiset (esimerkkejä)



algebralliset johdannaiset ne koostuvat johdannaisen tutkimuksesta algebraisten toimintojen erityistapauksessa. Johdannaisen käsitteen alkuperä palaa antiikin Kreikkaan. Tämän käsitteen kehittämistä motivoi tarve ratkaista kaksi tärkeää ongelmaa, joista toinen on fysiikassa ja toinen matematiikassa.

Fysiikassa johdannainen ratkaisee liikkuvan kohteen hetkellisen nopeuden määrittämisen ongelman. Matematiikassa löydät tangenttilinjan käyrälle tietyssä pisteessä.

Vaikka on olemassa paljon enemmän ongelmia, jotka ratkaistaan ​​johdannaisella, sekä sen yleistykset, tulokset, jotka tulivat sen käyttöönoton jälkeen.

Eri laskennan edelläkävijät ovat Newton ja Leibniz. Ennen muodollisen määritelmän antamista kehitämme ajatuksen matemaattisesta ja fyysisestä näkökulmasta.

indeksi

  • 1 Johdanto tangenttilinjan kaltevuuskäyränä käyrään
  • 2 Johdannainen liikkuvan kohteen hetkellisenä nopeudella
    • 2.1 Algebrallinen toiminto
  • 3 Johdannaissäännöt
    • 3.1 Johdettu vakiosta
    • 3.2 Tehon johdannainen
    • 3.3 Johdettu lisäyksestä ja vähennyksestä
    • 3.4 Tuotteen johdannainen
    • 3.5 Johdettu osamäärästä
    • 3.6 Ketjun sääntö
  • 4 Viitteet

Johdannainen kuin tangentin viiva käyrään

Oletetaan, että funktion y = f (x) kaavio on jatkuva kaavio (ilman huippuja tai pisteitä tai erotteluja) ja anna A = (a, f (a)) olla kiinteä piste. Haluamme löytää tangenttilinjan yhtälön funktion f kuvaan kohdassa A.

Ota jokin muu piste P = (x, f (x)), joka on lähellä pistettä A, ja piirrä A- ja P-pisteiden läpi kulkeva sekanttiviiva. Sekantti on viiva, joka leikkaa käyrän kaavion yhdessä tai enemmän pisteitä.

Saadaksesi haluamasi tangentin, tarvitsemme vain laskea rinteen, koska meillä on jo piste rivillä: kohta A.

Jos siirrämme pistettä P kaaviota pitkin ja tuodaan sen lähemmäksi ja lähemmäs kohtaa A, edellä mainittu sekanttiviiva lähestyy tangenttia, jota haluamme löytää. Kun raja-arvo on "P" A: lle, molemmat linjat tulevat samaan aikaan, joten myös sen rinteet.

Sekanttilinjan kaltevuus annetaan arvolla

Sanoa, että P-lähestymistavat A vastaavat sanoa, että "x" lähestyy "a". Siten tangenttilinjan kaltevuus f: n kaavioon pisteessä A on yhtä suuri kuin:

Edellä oleva lauseke on merkitty f '(a): lla, ja se määritellään funktion f johdannaiseksi kohdassa "a". Nähdään siis, että analyyttisesti funktion johdannainen pisteessä on raja, mutta geometrisesti se on pisteen viivan tangentti pisteen funktion kuvaajalle.

Nyt näemme tämän käsitteen fysiikan näkökulmasta. Saamme edellisen raja-arvon samaan ilmaisuun, vaikkakin eri tavalla, saamalla määritelmän yksimielisyyden.

Johdannainen liikkuvan kohteen hetkellisenä nopeudella

Katsotaanpa lyhyt esimerkki siitä, mitä välitön nopeus tarkoittaa. Kun esimerkiksi sanotaan, että kohde, joka saapuu määränpäähän, teki sen nopeudella 100 km tunnissa, mikä tarkoittaa, että tunnin kuluessa se matkusti 100 km.

Tämä ei välttämättä tarkoita sitä, että koko tunnin aikana auto oli aina 100 km: n päässä, auton nopeusmittari voisi joissakin hetkissä merkitä vähemmän tai enemmän. Jos hänellä oli tarve pysähtyä liikennevaloon, nopeus oli tällä hetkellä 0 km. Tunnin jälkeen reitti oli 100 km.

Tätä kutsutaan keskinopeudeksi, ja se on annettu kuluneen ajan välisen matkan välisellä osuudella, kuten olemme juuri nähneet. Sen hetkinen nopeus on se, joka merkitsee auton nopeusmittarin neulaa määritetyssä hetkessä (aika).

Katsotaanpa nyt tätä yleisemmin. Oletetaan, että kohde liikkuu viivaa pitkin ja että tämä siirtymä esitetään yhtälön s = f (t) avulla, jossa muuttuja t mittaa aikaa ja muuttujaa siirtymää ottaen huomioon sen alkuarvon hetki t = 0, jolloin se on myös nolla, eli f (0) = 0.

Tätä funktiota f (t) kutsutaan sijaintitoiminnoksi.

Haetaan kohteen ilmaisua hetkelliselle nopeudelle kiinteässä hetkessä "a". Tällä nopeudella me merkitsemme sen V (a): lla.

Olkoon t milloin tahansa välitön "a": n lähellä. "A": n ja "t": n välisessä aikavälissä kohteen muutos annetaan f (t) -f (a): lla.

Keskimääräinen nopeus tässä aikavälissä on:

Mikä on likimääräinen nopeus V (a). Tämä lähentyminen on parempi, kun t lähestyy "a": ta. siksi,

Huomaa, että tämä lauseke on sama kuin edellisessä tapauksessa, mutta eri näkökulmasta. Tätä kutsutaan funktion f johdannaiseksi kohdassa "a" ja se on merkitty f '(a): lla, kuten edellä on mainittu.

Huomaa, että muutoksen h = x-a tekeminen on, että kun "x" pyrkii "a": een, "h" pyrkii 0: een ja edellinen raja muunnetaan (vastaavasti):

Molemmat lausekkeet ovat samanarvoisia, mutta joskus on parempi käyttää toista toisen sijasta tapauksesta riippuen.

Funktion f johdannainen määritellään sitten yleisemmin missä tahansa kohdassa "x", joka kuuluu sen toimialueeseen

Yleisin merkintä funktion y = f (x) johdannaisen esittämiseksi on se, mitä olemme juuri nähneet (f 'o ja'). Toinen laajalti käytetty merkintä on kuitenkin Leibniz-merkintä, joka on esitetty jollakin seuraavista ilmaisuista:

Ottaen huomioon, että johdannainen on olennaisesti raja, se voi olla tai ei ole olemassa, koska rajat eivät aina ole olemassa. Jos se on olemassa, sanotaan, että kyseinen toiminto on erotteleva annetussa pisteessä.

Algebrallinen toiminto

Algebrallinen funktio on polynomien yhdistelmä summien, vähennysten, tuotteiden, osamäärien, voimien ja radikaalien avulla.

Polynomi on muodon ilmentymä

Pn= anxn+ ettän-1xn-1+ ettän-2xn-2+... + a2x2+ että1x + a0

Missä n on luonnollinen luku ja kaikki aminä, i = 0,1, ..., n, ovat rationaalisia lukuja ja an≠ 0 Tässä tapauksessa sanotaan, että tämän polynomin aste on n.

Seuraavassa on esimerkkejä algebrallisista toiminnoista:

Tässä ei ole mukana eksponentiaalisia, logaritmisia ja trigonometrisiä toimintoja. Alla olevat johdannaissäännöt pätevät yleensä toimintoihin, mutta rajoitamme itseämme ja sovellamme niitä algebrallisissa toiminnoissa..

Ohita säännöt

Johdettu vakiosta

Siinä todetaan, että vakion johdannainen on nolla. Eli jos f (x) = c, sitten f '(x) = 0. Esimerkiksi vakiofunktion 2 johdannainen on 0.

Johdettu voimasta

Jos f (x) = xn, sitten f '(x) = nxn-1. Esimerkiksi x: n johdannainen3 Se on 3x2. Tämän seurauksena saamme, että identiteettitoiminnon f (x) = x johdannainen on f '(x) = 1x1-1= x0= 1.

Toinen esimerkki on seuraava: olla f (x) = 1 / x2, sitten f (x) = x-2 ja f '(x) = - 2x-2-1= -2x-3.

Tämä ominaisuus on myös pätevä juuret, koska juuret ovat järkeviä voimia ja voit soveltaa edellä mainittua tapaa myös tässä tapauksessa. Esimerkiksi neliöjuuren johdannainen on

Tuloksena on summa ja vähennys

Jos f ja g ovat eriytyviä funktioita x: ssä, summa f + g on myös erilainen ja että (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Vastaavasti meillä on se (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Toisin sanoen summan johdannainen (vähennys) on johdannaisten summa (tai vähennys).

esimerkki

Jos h (x) = x2+x-1

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Johdettu tuotteesta

Jos f ja g ovat eriytyviä funktioita x: ssä, niin tuote fg on myös erottuva x: ssä ja se on täytetty

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Tämän seurauksena meillä on se, että jos c on vakio ja f on erottuva funktio x: ssä, niin cf on myös erotettavissa x: ssä ja (cf) '(x) = cf' (X).

esimerkki

Jos f (x) = 3x (x2+1)

f '(x) = (3x)' (x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (x)' (x2+1) + 3x [(x2) '+ (1)']

= 3 (1) (x2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (x2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6x2

= 9x2+3.

Johdettu osamäärästä

Jos f ja g ovat eriytettäviä x: ssä ja g (x) ≠ 0: ssa, niin f / g on myös eriytettävissä x: ssä, ja on totta, että

esimerkiksi: jos h (x) = x3/ (x2-5x)

h '(x) = [(x3) '(x5-5x) - (x3) (x5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (x5-5x) - (x3) (5x4-5)] / (x5-5x)2.

Ketju sääntö

Tämä sääntö sallii funktioiden koostumuksen johtamisen. Se luo seuraavat: jos y = f (u) on eriytettävissä u: ssa, yu = g (x) on eriytettävissä x: ssä, niin yhdistefunktio f (g (x)) on eriytettävä x: ssä, ja se on tyytyväinen siihen, että [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Toisin sanoen yhdistelmäfunktion johdannainen on ulkoisen funktion johdannaisen (ulkoisen johdannaisen) tulos sisäisen funktion johdannaisella (sisäinen johdannainen).

esimerkki

Jos f (x) = (x4-2x)3, sitten

f '(x) = 3 (x4-2x)2(x4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

On myös tuloksia laskettaessa funktion käänteisen johdannaisen sekä yleistämisen korkeamman asteen johdannaisiin. Sovellukset ovat laajoja. Niistä he korostavat niiden apuohjelmia optimointi- ja maksimitoimintojen ongelmissa.

viittaukset

  1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Tasauslaskenta. ITM.
  2. Cabrera, V. M. (1997). Laskenta 4000. Toimituksellinen Progreso.
  3. Castaño, H. F. (2005). Matematiikka ennen laskentaa. Medellinin yliopisto.
  4. Eduardo, N. A. (2003). Johdatus laskentaan. Kynnysarvot.
  5. Lähteet, A. (2016). PERUSMATEMATIKKA. Johdatus laskentaan. Lulu.com.
  6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E., ja Varberg, D. E. (2007). laskelma. Pearson Education.
  7. Saenz, J. (2005). Tasauslaskenta (Toinen toim.). Barquisimeto: Hypotenuse.
  8. Thomas, G. B., ja Weir, M. D. (2006). Laskeminen: useita muuttujia. Pearson Education.