Peräkkäiset johdannaiset (ratkaistujen harjoitusten kanssa)

 peräkkäiset johdannaiset ovat toisen johdannaisen jälkeisen funktion johdannaisia. Menetelmä peräkkäisten johdannaisten laskemiseksi on seuraava: meillä on funktio f, jonka voimme saada ja saada siten johdannaisfunktio f '. Tähän f: n johdannaiseen voimme saada sen uudelleen, saamalla (f ')'.

Tätä uutta toimintoa kutsutaan toiseksi johdannaiseksi; kaikki toisesta lasketut johdannaiset ovat peräkkäisiä; Näillä, joita kutsutaan myös korkeammiksi järjestyksiksi, on hyvät sovellukset, kuten informaation antaminen funktion graafin kaaviosta, toinen johdannaistesti suhteellisten ääripäiden ja äärettömän sarjan määrittämiseksi.

indeksi

• 1 Määritelmä
  • 1.1 Esimerkki 1
  • 1.2 Esimerkki 2
• 2 Nopeus ja kiihtyvyys
  • 2.1 Esimerkki 1
  • 2.2 Esimerkki 2
• 3 Sovellukset
  • 3.1 Yksinkertaistettu johdanto
  • 3.2 Esimerkki
  • 3.3 Suhteelliset päät
  • 3.4 Esimerkki
  • 3.5 Taylor-sarja
  • 3.6 Esimerkki
• 4 Viitteet

määritelmä

Leibniz-merkinnän avulla on, että funktion "ja" johdannainen suhteessa "x" on dy / dx. Voit ilmaista toisen johdannaisen "ja" käyttämällä Leibniz-merkintää seuraavasti:

Yleisesti ottaen voimme ilmaista peräkkäiset johdannaiset Leibniz-merkinnällä seuraavasti, jossa n edustaa johdannaisen järjestystä.

Muut käytetyt merkinnät ovat seuraavat:

Muutamia esimerkkejä, joissa voimme nähdä eri merkinnät, ovat:

Esimerkki 1

Hanki kaikki funktion f johdannaiset, jotka määrittelevät:

Käyttämällä tavallisia johdannaistekniikoita on, että f: n johdannainen on:

Toistamalla prosessin voimme saada toisen johdannaisen, kolmannen johdannaisen ja niin edelleen.

Huomaa, että neljäs johdannainen on nolla ja nollajohdannainen on nolla, joten meidän on:

Esimerkki 2

Laske seuraavan funktion neljäs johdannainen:

Tuloksena on, että annettu toiminto on:

Nopeus ja kiihtyvyys

Yksi johdannaisen löytämiseen johtaneista motivaatioista oli hetkellisen nopeuden määritelmän etsiminen. Muodollinen määritelmä on seuraava:

Olkoon y = f (t) funktio, jonka kaavio kuvaa hiukkasen liikerataa hetkessä T, sitten sen nopeus hetkessä t saadaan:

Saatuaan hiukkasen nopeuden voimme laskea hetkellisen kiihtyvyyden, joka määritellään seuraavasti:

Hiukkasen hetkellinen kiihtyvyys, jonka polku on y = f (t), on:

Esimerkki 1

Hiukkanen liikkuu linjalla sijaintitoiminnon mukaisesti:

Jos "y" mitataan metreinä ja "t" sekunnissa.

- Missä hetkessä nopeus on 0?

- Missä hetkessä kiihtyvyys on 0?

Paikannustoiminnon "ja" johdosta on, että sen nopeus ja kiihtyvyys annetaan vastaavasti:

Ensimmäiseen kysymykseen vastaamiseksi riittää, kun määritetään, milloin funktio v muuttuu nollaan; tämä on:

Jatkaamme seuraavaa kysymystä vastaavasti:

Esimerkki 2

Hiukkanen liikkuu rivillä seuraavan liikeyhtälön mukaisesti:

Määritä "t, y" ja "v" kun a = 0.

Tietäen, että nopeus ja kiihtyvyys ovat

Jatkaamme ja saamme:

Tekemällä a = 0, meillä on:

Mistä voimme päätellä, että t: n arvo a: n ollessa nolla on t = 1.

Arvioi sitten sijaintitoiminto ja nopeustoiminto t = 1: ssä:

sovellukset

Yksinkertaistettu johdanto

Peräkkäiset johdannaiset voidaan saada myös implisiittisesti.

esimerkki

Kun olet saanut seuraavan ellipsin, etsi "ja":

Tulee epäsuorasti x: n suhteen:

Sitten, kun tulet uudelleen epäsuorasti x: n suhteen, se antaa meille:

Lopuksi meillä on:

Suhteelliset päät

Toinen käyttö, jonka voimme antaa toisen asteen johdannaisille, on funktion suhteellisten päiden laskeminen.

Ensimmäisen derivaatan kriteeri paikallisille ääripäille kertoo meille, että jos meillä on funktio f jatkuva alueella (a, b) ja on olemassa c, joka kuuluu tälle aikavälille, niin että f 'on kumottu c: ssä (ts. on kriittinen kohta), yksi näistä kolmesta tapauksesta voi \ t

- Jos f '(x)> 0 on jokaiselle x: lle, joka kuuluu (a, c) ja f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Jos f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0, kun x kuuluu (c, b), sitten f (c) on paikallinen minimi.

- Jos f '(x): llä on sama merkki kohdassa (a, c) ja (c, b), se tarkoittaa, että f (c) ei ole paikallinen päätepiste.

Käyttämällä toisen johdannaisen kriteeriä voimme tietää, onko funktion kriittinen numero maksimi tai paikallinen minimi ilman, että on syytä nähdä, mikä on merkki toiminnasta edellä mainituin väliajoin.

Toisen johdannaisen kriteeri kertoo, että jos f '(c) = 0 ja että f "(x) on jatkuvaa (a, b): ssä, tapahtuu, että jos f" (c)> 0 sitten f (c) on paikallinen vähimmäismäärä ja jos f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Jos f "(c) = 0, emme voi tehdä mitään.

esimerkki

Koska funktio f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², löytää f: n suhteelliset maksimi- ja minimiarvot, kun käytetään toisen johdannaisen kriteeriä.

Ensin laskemme f '(x) ja f "(x) ja meillä on:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nyt f '(x) = 0 jos ja vain jos 4x (x + 2) (x - 1) = 0, ja tämä tapahtuu, kun x = 0, x = 1 tai x = - 2.

Sen määrittämiseksi, ovatko saadut kriittiset luvut suhteellisia ääripäitä, riittää arvioida f: ssä ja täten noudattaa sen merkkiä.

f "(0) = - 8, joten f (0) on paikallinen maksimi.

f "(1) = 12, joten f (1) on paikallinen minimi.

f "(- 2) = 24, joten f (- 2) on paikallinen minimi.

Taylor-sarja

Olkoon f funktio, joka määritellään seuraavasti:

Tällä funktiolla on lähentymissäde R> 0 ja siinä on kaikkien (-R, R): n tilausten johdannaiset. F: n peräkkäiset johdannaiset antavat meille:

Kun x = 0, voimme saada c: n arvot_n perustuvat sen johdannaisiin seuraavasti:

Jos otamme n = 0 funktiona f (eli f ^ 0 = f), voimme kirjoittaa sen uudelleen seuraavasti:

Ajattele nyt toimintoa joukon valtuuksia x = a:

Jos suoritamme analogisen analyysin edelliseen, meidän pitäisi kirjoittaa funktio f:

Näitä sarjoja kutsutaan nimellä Taylor-sarja f. Kun a = 0, meillä on erityinen tapaus, jota kutsutaan Maclaurin-sarjaksi. Tämän tyyppisellä sarjalla on suuri matemaattinen merkitys erityisesti numeerisessa analyysissä, koska näiden avulla voimme määritellä toiminnot tietokoneissa, kuten^x , sin (x) ja cos (x).

esimerkki

Hanki Maclaurin-sarja e^x.

Huomaa, että jos f (x) = e^x, sitten f^(N)(x) = e^x ja f^(N)(0) = 1, minkä vuoksi hänen Maclaurin-sarja on:

viittaukset

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5-kertainen laskenta. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). LASKEMINEN analyyttisellä geometrialla. HARLA, S.A.
3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). laskelma. Meksiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Tasauslaskenta. hypotenuusa.
5. Saenz, J. (s.f.). Kattava laskenta. hypotenuusa.