Aksiaaliset menetelmän ominaisuudet, vaiheet, esimerkit

aksiomaattinen menetelmä tai kutsutaan myös Axiomaticsiksi, on tieteiden käyttämä muodollinen menettely, jonka avulla muotoillaan aksiomeja koskevia lausuntoja tai ehdotuksia, jotka liittyvät toisiinsa vähennyskelpoisuussuhteella ja jotka ovat tietyn järjestelmän hypoteesin tai olosuhteiden perusta.

Tämä yleinen määritelmä on kehitettävä evoluutiolla, jonka tämä menetelmä on ollut historian aikana. Ensinnäkin on olemassa vanha menetelmä tai sisältö, joka on syntynyt muinaisessa Kreikassa Euklidista ja jota myöhemmin kehitti Aristoteles.

Toiseksi, jo 1800-luvulla geometria, jonka aksiaalit poikkesivat Euklidista. Ja lopuksi muodollinen tai moderni aksiomaattinen menetelmä, jonka suurin eksponentti oli David Hilbert.

Ajan myötä tapahtuneen kehityksen lisäksi tämä menettely on perustunut geometrian ja logiikan deduktiiviseen menetelmään, jossa se on syntynyt. Sitä on käytetty myös fysiikassa, kemiassa ja biologiassa.

Sitä on sovellettu jopa oikeustieteeseen, sosiologiaan ja poliittiseen talouteen. Tällä hetkellä sen tärkein sovellusalue on matematiikka ja symbolinen logiikka ja tietyt fysiikan haarat, kuten termodynamiikka, mekaniikka, muiden tieteenalojen joukossa.

indeksi

• 1 Ominaisuudet 
  • 1.1 Vanha aksiomaattinen menetelmä tai sisältö 
  • 1.2 Ei-euklidinen aksiaalinen menetelmä
  • 1.3 Moderni tai muodollinen aksiomaattinen menetelmä
• 2 vaihetta 
• 3 Esimerkkejä
• 4 Viitteet

piirteet

Vaikka tämän menetelmän perusominaisuus on aksioomien muotoilu, niitä ei ole aina tarkasteltu samalla tavalla.

On joitakin, jotka voidaan määritellä ja rakentaa mielivaltaisesti. Ja toiset, mallin mukaan, jossa otetaan huomioon sen intuitiivisesti taattu totuus.

Jotta ymmärrettäisiin erityisesti, mitä tämä ero koostuu ja sen seurauksista, on tarpeen tarkistaa tämän menetelmän kehitys.

Vanha aksiomaattinen menetelmä tai sisältö 

Se on perustettu antiikin Kreikassa noin 5. vuosisadalla eKr. Sen sovellusalue on geometria. Tämän vaiheen perustyönä ovat Euklidin elementit, vaikka katsotaan, että ennen häntä Pythagoras oli jo synnyttänyt aksiomaattisen menetelmän.

Niinpä kreikkalaiset ottavat tietyt tosiasiat axiomeiksi ilman, että he tarvitsevat loogisia todisteita, toisin sanoen ilman demonstraatiota, koska heille he ovat itsestään selvä totuus.

Euclides esittelee puolestaan ​​viisi geometriaa:

1 -Tämä kaksi pistettä on rivi, joka sisältää tai yhdistää ne.

2-Jokaista segmenttiä voidaan jatkaa jatkuvasti rajattomalla linjalla molemmin puolin.

3-Voit piirtää ympyrän, jossa on keskipiste missä tahansa kohdassa ja millä tahansa säteellä.

4-oikea kulma ovat kaikki samat.

5 - Ottaen minkä tahansa suoran linjan ja minkä tahansa pisteen, joka ei ole siinä, on suora, joka on samansuuntainen ja joka sisältää kyseisen pisteen. Tämä aksiooma tunnetaan myöhemmin rinnakkaisnäytön aksioomina, ja se on myös ilmaistu myös seuraavasti: linjan ulkopuolella olevaan pisteeseen voidaan vetää yksi rinnakkain.

Kuitenkin sekä Euklidissa että myöhemmin matemaatikoissa, että viides aksioomi ei ole yhtä selkeä intuitiivisesti kuin muutkin 4. Jopa renessanssin aikana yrittää päätellä viidennestä muusta 4: stä, mutta se ei ole mahdollista.

Tämä johti siihen, että jo yhdeksästoista luvulla ne, jotka ylläpitivät viittä, olivat euklidisen geometrian kannattajia ja ne, jotka kieltäytyivät viidennestä, olivat ne, jotka loivat ei-euklidisen geometrian.

Ei-euklidinen aksiaalinen menetelmä

Juuri Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai ja Johann Karl Friedrich Gauss näkevät mahdollisuuden rakentaa ilman ristiriitaa geometriaa, joka on peräisin Euklidista poikkeavista aksioomijärjestelmistä. Tämä tuhoaa uskon absoluuttiseen tai a priori totuuteen aksioomeista ja niistä johtuvista teorioista.

Siksi aksioomat alkavat ajatella tietyn teorian lähtökohtina. Sekä heidän valintansa että ongelmansa niiden pätevyydellä tavalla tai toisella alkavat liittyä aksiomaattisen teorian ulkopuolisiin tosiseikkoihin.

Tällä tavoin näkyvät geometriset, algebralliset ja aritmeettiset teoriat, jotka on rakennettu aksiomaattisen menetelmän avulla.

Tämä vaihe huipentuu aksiaomaattisten järjestelmien luomiseen aritmeettisiksi, kuten Giuseppe Peanon vuonna 1891; David Hubertin geometria vuonna 1899; Alfred North Whiteheadin ja Bertrand Russellin, Englannissa 1910; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelon joukkojen aksiaalinen teoria vuonna 1908.

Moderni tai muodollinen aksiomaattinen menetelmä

David Hubert aloittaa muodollisen aksioomaisen menetelmän käsitteen ja johtaa sen huipentumiseen, David Hilbert.

Juuri Hilbert muodostaa virallisen tieteellisen kielen, kun otetaan huomioon sen lausumat kaavoina tai merkkien sekvensseinä, joilla ei ole mitään merkitystä itsessään. Ne saavat vain merkityksen tietyssä tulkinnassa.

In "Geometrian perusteet"Selittää tämän menetelmän ensimmäisen esimerkin. Sieltä geometriasta tulee puhtaiden loogisten seurausten tiede, joka on otettu hypoteesien tai aksioomien järjestelmästä, joka on paremmin artikuloitu kuin euklidinen järjestelmä.

Tämä johtuu siitä, että vanhassa järjestelmässä aksiomaattinen teoria perustuu aksioomien todisteisiin. Vaikka muodollisen teorian perusta on osoitettu sen aksioomien ristiriitaisuudesta.

portaat

Menettely, joka toteuttaa aksioomaista rakennetta tieteellisissä teorioissa, tunnistaa:

a-tietyn määrän aksioomien valintaa, toisin sanoen tiettyjä tiettyä teoriaa koskevia ehdotuksia, jotka hyväksytään ilman, että niitä on osoitettava.

b-käsitteitä, jotka ovat osa näitä ehdotuksia, ei määritetä annetun teorian puitteissa.

c-tietyn teorian määrittely- ja vähentämissäännöt ovat kiinteät ja mahdollistavat uusien käsitteiden käyttöönoton teoriaan ja loogisesti johtavat joihinkin muihin ehdotuksiin..

d - teorian muut ehdotukset, toisin sanoen lause, johdetaan a: sta c: n perusteella.

esimerkit

Tämä menetelmä voidaan todentaa esittelemällä kaksi tunnetuinta Euclid-teemaa: jalka-lause ja korkeus-lause..

Molemmat johtuvat tämän kreikkalaisen geometerin havainnosta, että kun korkeus on piirretty suhteessa hypotenuseen oikeassa kolmiossa, kaksi kolmiota näkyvät enemmän kuin alkuperäinen. Nämä kolmiot ovat samankaltaisia ​​ja samaan aikaan samanlaisia ​​kuin alkuperän kolmio. Tämä olettaa, että niiden vastaavat homologiset puolet ovat verrannollisia.

On havaittavissa, että kolmikulmien kongruenttiset kulmat tällä tavoin varmistavat kolmen kolmion välisen samankaltaisuuden AAA-samankaltaisuuskriteerin mukaisesti. Tämä kriteeri pitää sitä, että kun kahdessa kolmiossa on kaikki yhtäläiset kulmat, ne ovat samanlaisia.

Kun kolmiot on osoitettu olevan samankaltaisia, ensimmäisessä lauseessa määritetyt mittasuhteet voidaan määrittää. Siinä todetaan, että oikeassa kolmiossa jokaisen katetin mittaus on geometrinen suhteellinen keskiarvo hypotenuksen ja siinä olevan katetin ulokkeen välillä..

Toinen lause on korkeus. Siinä määritellään, että mikä tahansa oikean kolmion korkeus, joka on piirretty hypotenuksen mukaan, on geometrinen suhteellinen keskiarvo niiden segmenttien välillä, jotka määritetään mainitun geometrisen keskiarvon perusteella hypotenuksessa.

Tietenkin molemmilla teoreemeilla on lukuisia sovelluksia kaikkialla maailmassa paitsi koulutuksen alalla, myös insinööri-, fysiikka-, kemia- ja tähtitieteen alalla.

viittaukset

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismi ja intuitio: David Hilbert ja muodollinen aksioomaattinen menetelmä (1895-1905). Philosophy Magazine, osa 39 Núm. 2, s. 121. - 146. Otettu osoitteesta revistas.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomaattinen ajatus. W.Ewald, toimittaja Kantista Hilbertiin: lähdekirja matematiikan perustana. Volume II, s. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Mikä on aksiomaattinen menetelmä? Synthese, marraskuu 2011, tilavuus 189, s. 69-85. Takaisin osoitteesta link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Johdatus nykytilan filosofiaan. (Pp.48-49). Otettu osoitteesta books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatic Method, lukemalla Ricardo Nirenberg, Fall 1996, University of Albany, Project Renaissance. Albany.edusta.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert matematiikan muodollisen ja epävirallisen puolen välillä. Käsikirjoituksen vol. 38 ei. 2, Campinas heinä-elokuu 2015. Otettu scielo.br.