Muunnettu Laplace-määritelmä, historia, mitä se on, ominaisuudet



muunnettu Laplace-laitteesta on ollut viime vuosina erittäin tärkeää tekniikan, matematiikan, fysiikan, muiden tieteenalojen opinnoissa, mutta myös teoreettista kiinnostusta, tarjoaa yksinkertaisen tavan ratkaista tieteen ja tekniikan ongelmia..

Alun perin Pierre-Simon Laplace esitteli Laplace-muunnoksen todennäköisyyden teoriaa koskevassa tutkimuksessaan, ja sitä alun perin käsiteltiin matemaattisena kohteena vain teoreettisesti..

Nykyiset sovellukset syntyvät, kun useat matemaatikot yrittivät muodollisesti perustella "toimintaohjeita", joita Heaviside käytti sähkömagneettisen teorian yhtälöiden tutkimuksessa.

indeksi

  • 1 Määritelmä
    • 1.1 Esimerkkejä
    • 1.2 Lause (riittävät edellytykset olemassaololle)
    • 1.3 Joidenkin perusfunktioiden Laplace-muunnos
  • 2 Historia
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Ominaisuudet
    • 3.1 Lineaarisuus
    • 3.2 Ensimmäinen käännösteema
    • 3.3 Toisen kääntämisen lause
    • 3.4 Mittakaavan muutos
    • 3.5 johdannaisista peräisin olevan Laplace-levyn uudelleenmuodostus
    • 3.6 Integrallien Laplace-muunnos
    • 3.7 Kertominen tn: llä
    • 3.8 Jakso t
    • 3.9 Säännölliset toiminnot
    • 3.10 F: n käyttäytyminen, kun s on taipuvainen äärettömyyteen
  • 4 Käänteiset muunnokset
    • 4.1 Harjoitus
  • 5 Laplace-muunnoksen sovellukset
    • 5.1 Eri yhtälöt
    • 5.2 Eri yhtälöiden järjestelmät
    • 5.3 Mekaniikka ja sähköpiirit
  • 6 Viitteet

määritelmä

Olkoon f funktio, joka on määritetty t ≥ 0: lle. Laplace-muunnos määritellään seuraavasti:

Sanotaan, että Laplace-muunnos on olemassa, jos edellinen integraali konvergoituu, muuten sanotaan, että Laplace-muunnosta ei ole olemassa.

Yleisesti ottaen merkitään funktiota, jota haluaa muokata, pieniä kirjaimia käytetään ja isot kirjaimet vastaavat sen muunnosta. Tällä tavoin meillä on:

esimerkit

Harkitse vakiofunktiota f (t) = 1. Meillä on, että sen muunnos on:

Aina kun integraali konvergoituu, se on aina edellyttäen, että s> 0. Muuten s < 0, la integral diverge.

Olkoon g (t) = t. Laplace-muunnoksen antaa

Integroimalla osat ja tietäen, että sinä-st se pyrkii 0: een, kun t pyrkii äärettömään ja s> 0, yhdessä edellisen esimerkin kanssa, että:

Muunnos voi olla tai ei ole olemassa, esimerkiksi funktiolle f (t) = 1 / t integraali, joka määrittelee sen Laplace-muunnoksen, ei lähene ja siksi sen muunnosta ei ole olemassa.

Riittävät olosuhteet, joilla varmistetaan, että funktion f Laplace-muunnos on olemassa, on se, että f on jatkuva osissa t ≥ 0 ja on eksponentiaalinen järjestys.

Sanotaan, että funktio on jatkuvaa osissa t ≥ 0, kun millä tahansa aikavälillä [a, b], jossa on> 0, on rajallinen määrä pisteitä tK, jossa f: llä on epäjatkuvuuksia ja joka on jatkuva kussakin alivälissä [tk-1,TK].

Toisaalta sanotaan, että funktio on eksponentiaalinen järjestys c, jos on todellisia vakioita M> 0, c ja T> 0 siten, että:

Esimerkkeinä meillä on se, että f (t) = t2 on eksponentiaalinen järjestys, koska | t2| < e3t kaikille t> 0.

Virallisella tavalla meillä on seuraava lause

Lause (riittävät edellytykset olemassaololle)

Jos f on jatkuvaa funktiota osaa kohden t> 0 ja eksponentiaalisen järjestyksen c osalta, on Laplace-muunnos s> c.

On tärkeää korostaa, että tämä on riittävyyden edellytys, toisin sanoen voisi olla, että on olemassa toiminto, joka ei täytä näitä ehtoja, ja jopa sen Laplace-muunnos on olemassa.

Esimerkki tästä on funktio f (t) = t-1/2 joka ei ole jatkuva osissa t ≥ 0, mutta sen Laplace-muunnos on olemassa.

Joidenkin perustoimintojen Laplace-muunnos

Seuraavassa taulukossa on yleisin toimintojen Laplace-muunnokset.

historia

Laplace-muunnos on nimeltään Pierre-Simon Laplace, matemaatikko ja ranskalainen teoreettinen tähtitieteilijä, joka syntyi vuonna 1749 ja kuoli vuonna 1827. Hänen maineensa oli sellainen, että hänet tunnettiin Ranskan Newtoniksi..

Vuonna 1744 Leonard Euler omisti opintonsa integraaleille

tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, mutta luopui tästä tutkimuksesta nopeasti. Myöhemmin Joseph Louis Lagrange, joka suuresti ihaili Euleria, tutki myös tämäntyyppisiä integraaleja ja liittyi niihin todennäköisyyden teoriaan.

1782, Laplace

Vuonna 1782 Laplace alkoi tutkia näitä integraaleja ratkaisuina differentiaaliyhtälöihin ja historioitsijoiden mukaan vuonna 1785 hän päätti muotoilla ongelman uudelleen, joka myöhemmin synnytti Laplace-muunnokset, kuten ne ymmärretään tänään.

Kun se on otettu todennäköisyysteorian alalle, se ei ollut juuri kiinnostunut ajan tutkijoille, ja sitä pidettiin vain matemaattisena kohteena vain teoreettisen edun kannalta.

Oliver Heaviside

1800-luvun puolivälissä, kun englantilainen insinööri Oliver Heaviside huomasi, että eri operaattoreita voidaan käsitellä algebrallisina muuttujina, jolloin heidän nykyaikainen sovellus on Laplace-muunnoksissa.

Oliver Heaviside oli englantilainen fyysikko, sähköinsinööri ja matemaatikko, joka syntyi vuonna 1850 Lontoossa ja kuoli vuonna 1925. Pyrkiessään ratkaisemaan värähtelyteoriaan sovellettavia differentiaaliyhtälöiden ongelmia ja käyttämällä Laplace-tutkimuksia hän alkoi muokata Laplace-muunnosten nykyaikaiset sovellukset.

Heavisiden esittelemät tulokset levisivät nopeasti koko ajan tieteelliseen yhteisöön, mutta koska sen työ ei ollut tiukkaa, perinteiset matemaatikot kritisoivat sitä nopeasti.

Heavisiden työn fyysisten yhtälöiden ratkaisemisen hyödyllisyys teki kuitenkin hänen suosionsa fyysikkojen ja insinöörien keskuudessa.

Näistä takaiskuista ja joidenkin vuosikymmenten epäonnistuneiden yritysyritysten jälkeen voidaan 20. vuosisadan alussa antaa tarkat perustelut Heavisiden antamille toimintaohjeille..

Nämä yritykset yrittivät maksaa muun muassa mm. Bromwichin, Carsonin, van der Polin, monenlaisten matemaatikkojen ponnisteluja..

ominaisuudet

Laplace-muunnoksen ominaisuuksien joukossa seuraavat erot:

lineaarisuus

Olkoon c1 ja c2 vakioita ja f (t) - ja g (t) -funktioita, joiden Laplace-muunnokset ovat vastaavasti F (s) ja G (s), sitten meidän on:

Tämän ominaisuuden vuoksi sanotaan, että Laplace-muunnos on lineaarinen operaattori.

esimerkki

Ensimmäinen käännös lause

Jos näin tapahtuu:

Ja 'a' on todellinen numero, sitten:

esimerkki

Cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) Laplace-muunnoksena:

Toinen käännös lause

jos

sitten

esimerkki

Jos f (t) = t ^ 3, sitten F (s) = 6 / s ^ 4. Ja siksi

on G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Mittakaavan muutos

jos

Ja "a" on ei-nolla-todellinen, meidän täytyy

esimerkki

Koska f (t) = sin (t): n muunnos on F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), sen on oltava

johdannaisten Laplace-mallin muokkaus

Jos f, f ', f ", ..., f(N) ovat jatkuvia t ≥ 0 ja ovat eksponentiaalisia ja f(N)(t) on jatkuva osissa t ≥ 0

Integraalien Laplace-muunnos

jos

sitten

Kertominen t: llän

Jos meidän täytyy

sitten

Jakso t

Jos meidän täytyy

sitten

Säännölliset toiminnot

Olkoon f jaksollinen funktio, jonka jakso on T> 0, eli f (t + T) = f (t)

F: n käyttäytyminen, kun s on taipumus äärettömään

Jos f on jatkuva osissa ja eksponentiaalisesti ja

sitten

Käänteiset muunnokset

Kun käytämme Laplace-muunnosta funktioon f (t), saadaan F (s), joka edustaa tätä muunnosta. Samoin voimme sanoa, että f (t) on F (s): n käänteinen Laplace-muunnos ja se on kirjoitettu

Tiedämme, että Laplace-muunnokset f (t) = 1 ja g (t) = t ovat F (s) = 1 / s ja G (s) = 1 / s2 siksi meidän on

Jotkut yleiset käänteiset Laplace-muunnokset ovat seuraavat

Lisäksi käänteinen Laplace-muunnos on lineaarinen, eli se on täytetty

harjoitus

löytää

Tämän harjoituksen ratkaisemiseksi meidän on vastattava funktiota F (s) yhden edellisen taulukon kanssa. Tässä tapauksessa, jos otamme n + 1 = 5 ja käytämme käänteisen muunnoksen lineaarisuusominaisuutta, kerromme ja jaamme 4: llä! saaminen

Toisen käänteisen muunnoksen osalta käytämme osittaisia ​​fraktioita funktion F (s) uudelleenkirjoittamiseksi ja sitten lineaarisuuden ominaisuuden saamiseksi

Kuten näissä esimerkeissä voidaan nähdä, on yleistä, että arvioitava funktio F (s) ei sovi tarkkaan mihinkään taulukossa esitettyihin toimintoihin. Näissä tapauksissa, kuten on havaittu, riittää, että funktio kirjoitetaan uudelleen vastaamaan sopivaa muotoa.

Laplace-muunnoksen sovellukset

Eri yhtälöt

Laplace-muunnosten pääasiallisena sovelluksena on ratkaista differentiaaliyhtälöt.

Käyttämällä johdannaisen muunnoksen ominaisuutta on selvää, että

Ja n-1-johdannaisista, jotka on arvioitu arvolla t = 0.

Tämä ominaisuus tekee muunnoksesta erittäin hyödyllisen alkuarvo-ongelmien ratkaisemiseksi, joissa on mukana vakio-kertoimia omaavat differentiaaliyhtälöt.

Seuraavat esimerkit osoittavat, miten Laplace-muunnosta käytetään differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.

Esimerkki 1

Kun otetaan huomioon seuraava alkuarvoongelma

Etsi ratkaisu Laplace-muunnoksella.

Sovellamme Laplace-muunnosta jokaiselle differentiaaliyhtälön jäsenelle

Meillä on olemassa olevan johdannaisen muuntamisen omaisuutta

Kehittämällä kaikkea ilmaisua ja selvitystä Ja me olemme jäljellä

Osittaisten murto-osien käyttäminen saadaksemme yhtälön oikean puolen uudelleenkirjoittamiseksi

Lopuksi tavoitteena on löytää funktio y (t), joka täyttää differentiaaliyhtälön. Käänteisen Laplace-muunnoksen käyttäminen antaa meille tuloksen

Esimerkki 2

ratkaista

Kuten edellisessä tapauksessa, käytämme muunnosta yhtälön molemmilta puolilta ja erillistä termiä.

Tällä tavoin meillä on tuloksena

Korvaaminen annetuilla alkuarvoilla ja Y: n tyhjentäminen

Yksinkertaisten fraktioiden avulla voimme kirjoittaa yhtälön uudelleen seuraavasti

Laplace-käänteisen muunnoksen soveltaminen antaa meille sen

Näissä esimerkeissä voitaisiin päästä väärään johtopäätökseen, että tämä menetelmä ei ole paljon parempi kuin perinteiset menetelmät differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Laplace-muunnoksen tarjoamat edut ovat se, että parametrien vaihtelua ei tarvitse käyttää tai huolestua määrittelemättömän kerroinmenetelmän erilaisista tapauksista.

Aloitusarvon ongelmien ratkaisemisen lisäksi tällä menetelmällä käytämme alusta lähtien alkuperäisiä ehtoja, joten muita laskelmia ei ole tarpeen tehdä tietyn ratkaisun löytämiseksi.

Eri yhtälöjärjestelmät

Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös ratkaisujen löytämiseen samanaikaisille tavallisille differentiaaliyhtälöille, kuten seuraavassa esimerkissä esitetään.

esimerkki

ratkaista

Alkuolosuhteissa x (0) = 8 e ja (0) = 3.

Jos meidän täytyy

sitten

Tulosten ratkaiseminen meissä

Ja kun käytämme Laplace-käänteistä muunnosta, meillä on

Mekaniikka ja sähköpiirit

Laplace-muunnoksella on suuri merkitys fysiikassa, pääasiassa mekaanisten ja sähköisten piirien sovelluksissa.

Yksinkertainen sähköpiiri koostuu seuraavista elementeistä

Kytkin, akku tai lähde, induktori, vastus ja kondensaattori. Kun kytkin on suljettu, tuotetaan sähkövirta, joka on merkitty i: llä (t). Kondensaattorin varausta merkitään q (t).

Kirchhoffin toisen lain mukaan lähde E: n suljetulle piirille tuottaman jännitteen on oltava yhtä suuri kuin kunkin jännitehäviön summa.

Sähkövirta i (t) liittyy kondensaattorin lataukseen q (t) i = dq / dt. Toisaalta jännitehäviö määritellään kussakin elementissä seuraavasti:

Jännitteen pudotus vastuksessa on iR = R (dq / dt)

Jännitteen pudotus induktorissa on L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Jännitteen lasku kondensaattorissa on q / C

Näiden tietojen ja toisen Kirchhoff-lain soveltaminen suljettuun yksinkertaiseen piiriin saadaan toisen järjestyksen differentiaaliyhtälö, joka kuvaa järjestelmää ja jonka avulla voimme määrittää q (t) -arvon..

esimerkki

Induktori, kondensaattori ja vastus on kytketty akkuun E, kuten kuviossa on esitetty. Induktori on 2 kynttilää, kondensaattori 0,02 farads ja vastus 16 onhm. Aikana t = 0 piiri suljetaan. Etsi kuorma ja virta milloin tahansa t> 0, jos E = 300 volttia.

Meillä on, että tätä piiriä kuvaava differentiaaliyhtälö on seuraava

Jos alkutilanne on q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Laplace-muunnoksen avulla saamme sen

Ja tyhjentää Q (t)

Sitten sovelletaan käänteistä Laplace-muunnosta

viittaukset

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace-muunnos elektroniikan insinööreille. Limusa.
  2. Ruiz, L. M., ja Hernandez, M. P. (2006). Eri yhtälöt ja Laplace-muunnos sovelluksilla. Toimituksellinen UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Eri yhtälöt sovellusten ja historiallisten muistiinpanojen kanssa. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplace-muunnokset. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Eri yhtälöt, joilla on arvojen ongelmia rajalla. Cengage Learning Editores, S.A..