Isometriset muunnokset koostumus, tyypit ja esimerkit



Isometriset muunnokset ne ovat tietyn kuvan sijainnin tai suunnan muutoksia, jotka eivät muuta sen muotoa tai kokoa. Nämä muunnokset luokitellaan kolmeen tyyppiin: käännös, kierto ja heijastus (isometria). Yleensä geometriset muunnokset mahdollistavat uuden kuvan antamisen toisesta annetusta.

Muutos geometriseksi kuvaksi merkitsee sitä, että jossakin määrin sitä muutettiin; se on, että sitä muutettiin. Alkuperäisen ja samanlaisen tason mukaan tasossa geometriset muunnokset voidaan luokitella kolmeen tyyppiin: isometrinen, isomorfinen ja anamorfinen..

indeksi

  • 1 Ominaisuudet
  • 2 tyyppiä
    • 2.1 Käännös
    • 2.2 Kierto
    • 2.3 Heijastus tai symmetria
  • 3 Koostumus
    • 3.1 Käännöksen kokoonpano
    • 3.2 Pyörityksen kokoonpano
    • 3.3 Symmetrian koostumus
  • 4 Viitteet

piirteet

Isometriset muunnokset tapahtuvat, kun segmenttien suuruudet ja alkuperäisen ja muunnetun välillä olevat kulmat ovat säilyneet.

Tämäntyyppisessä muunnoksessa ei muodon eikä kuvan suuruutta muuteta (ne ovat yhteneväisiä), se on vain kuvan sijainnin muutos joko suunnassa tai suunnassa. Näin alkuperäiset ja lopulliset luvut ovat samankaltaisia ​​ja geometrisia.

Isometria viittaa tasa-arvoon; toisin sanoen geometriset luvut ovat isometrisiä, jos niillä on sama muoto ja koko.

Isometrisissä muunnoksissa ainoa asia, joka on havaittavissa, on sijainnin muutos tasossa, jäykkä liike tapahtuu, minkä ansiosta kuvio siirtyy alkuasennosta pääteasentoon. Tätä lukua kutsutaan alkuperäiseksi homologiseksi (samankaltaiseksi).

On olemassa kolmenlaisia ​​liikkeitä, jotka luokittelevat isometrisen muunnoksen: käännös, kierto ja heijastus tai symmetria.

tyyppi

Kääntämällä

Ovatko ne isometriat, jotka mahdollistavat liikkumisen suorassa linjassa kaikki tason pisteet tietyssä suunnassa ja etäisyydessä.

Kun luku muunnetaan kääntämällä, se ei muuta sen suuntaa suhteessa alkuperäiseen asentoon eikä myöskään menetä sisäisiä toimenpiteitä, kulmien ja sivujen mittoja. Tämän tyyppinen siirtymä määritellään kolmella parametrilla:

- Osoite, joka voi olla vaakasuora, pystysuora tai vino.

- Tunne, joka voi olla vasemmalle, oikealle, ylös tai alas.

- Etäisyys tai suuruus, joka on pituus alkupisteestä mihin tahansa kohtaan, joka liikkuu.

Jotta isometrinen muunnos olisi täytettävä, sen on täytettävä seuraavat ehdot:

- Kuvassa on aina pidettävä kaikki mitat, sekä lineaariset että kulmat.

- Kuvassa ei muuteta sen sijaintia vaaka-akselin suhteen; eli sen kulma ei koskaan muutu.

- Käännökset tiivistetään aina yhteen, riippumatta tehtyjen käännösten määrästä.

Tasossa, jossa keskipiste on piste O, koordinaateilla (0,0), käännös määritetään vektorilla T (a, b), joka ilmaisee alkupisteen siirtymisen. Se on:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Jos esimerkiksi koordinaattipisteeseen P (8, -2) kohdistetaan käännös T (-4, 7), saamme:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Seuraavassa kuvassa (vasemmalla) voidaan nähdä, miten kohta C siirtyi samaan aikaan pisteen D. kanssa. Se teki niin pystysuunnassa, suunta oli ylöspäin ja etäisyys- tai suuruus-CD oli 8 metriä. Oikeassa kuvassa havaitaan kolmion kääntäminen:

Kierroksella

Ne ovat niitä isometrioita, jotka mahdollistavat kuvan kääntävän kaikki tason pisteet. Jokainen piste pyörii valokaaren jälkeen, jossa on vakio kulma ja kiinteä piste (pyörimiskeskus) määritetty.

Toisin sanoen kaikki kierto määritellään sen pyörimiskeskuksen ja kiertokulman mukaan. Kun kuva muuttuu pyörimällä, se pitää sen kulmien ja sivujen mitan.

Pyöritys tapahtuu tietyssä suunnassa, on positiivinen, kun kierto on vastapäivään (toisin kuin kellon kädet pyörivät) ja negatiivinen, kun sen kierto on myötäpäivään.

Jos pistettä (x, y) pyöritetään suhteessa alkuperäyn eli sen pyörimiskeskiöön (0,0) - 90 asteen kulmassatai 360: eentai Pisteiden koordinaatit ovat:

Siinä tapauksessa, että kierto ei ole keskellä alkuperää, koordinaattijärjestelmän alkuperä on siirrettävä uuteen alkuperään, jotta pystytään kääntämään kuvaa, jonka keskipiste on alkuperä.

Esimerkiksi jos pisteelle P (-5.2) on annettu pyörimisnopeus 90tai, alkuperän ympärillä ja positiivisessa mielessä sen uudet koordinaatit ovat (-2,5).

Heijastus tai symmetria

Ne ovat niitä muutoksia, jotka kääntävät koneen pisteitä ja lukuja. Tämä investointi voi olla suhteessa pisteeseen tai se voi olla myös suoran linjan suhteen.

Toisin sanoen, tämän tyyppisessä muunnoksessa jokaisen alkuperäisen kuvion piste liittyy toiseen homologisen kuvan pisteeseen (kuvaan) siten, että piste ja sen kuva ovat samalla etäisyydellä linjasta, jota kutsutaan symmetria-akseliksi..

Kuvion vasen osa on siis oikean osan heijastuma muuttamatta sen muotoa tai mittoja. Symmetria muuntaa yhden kuvan toiseen, vaikkakin vastakkaiseen suuntaan, kuten seuraavasta kuvasta näkyy:

Symmetria on monessa suhteessa, kuten joissakin kasveissa (auringonkukat), eläimissä (riikinkukko) ja luonnonilmiöissä (lumihiutaleet). Ihminen heijastaa sitä kasvoillaan, jota pidetään kauneuden tekijänä. Heijastus tai symmetria voi olla kahdenlaisia:

Keski-symmetria

Se on se muutos, joka tapahtuu suhteessa pisteeseen, jossa kuvio voi muuttaa sen suuntaa. Alkuperäisen kuvan jokainen piste ja sen kuva ovat samalla etäisyydellä pisteestä O, jota kutsutaan symmetriakeskukseksi. Symmetria on keskeinen, kun:

- Sekä piste että sen kuva ja keskus kuuluvat samaan linjaan.

- Kierroksella 180tai keskellä O saat alkuperäisen kuvan.

- Alkuarvon iskut ovat samansuuntaiset muodostetun kuvan iskujen kanssa.

- Kuvion tunne ei muutu, se on aina myötäpäivään.

Tämä muunnos tapahtuu symmetria-akselin suhteen, jossa alkupilven jokainen piste liittyy toiseen kuvan pisteeseen ja nämä ovat samalla etäisyydellä symmetria-akselista. Symmetria on aksiaalinen, kun:

- Segmentti, joka liittyy pisteeseen kuvan kanssa, on kohtisuorassa sen symmetria-akseliin nähden.

- Luvut muuttavat suuntaa käänteeseen tai myötäpäivään nähden.

- Jaettaessa kuva keskiviivalla (symmetria-akseli) yksi tuloksista puolittaa täysin toisen puolikkaan.

koostumus

Isometristen muunnosten koostumus tarkoittaa isometristen muunnosten peräkkäistä soveltamista samaan kuvaan.

Käännöksen kokoonpano

Kahden käännöksen kokoonpano johtaa toiseen käännökseen. Kun se tehdään tasossa, vaaka-akselilla (x) vain kyseisen akselin koordinaatit muuttuvat, kun taas pystyakselin (y) koordinaatit pysyvät samoina ja päinvastoin.

Pyörityksen kokoonpano

Kahden käännöksen koostumus saman keskuksen kanssa johtaa toiseen vuoroon, jolla on sama keskus ja jonka amplitudi on näiden kahden kierron amplitudien summa..

Jos keskustassa kääntyy eri keskusta, samankaltaisten pisteiden kahden segmentin bisektorin leikkaus on käännekeskeinen.

Symmetrian koostumus

Tässä tapauksessa kokoonpano riippuu siitä, miten sitä käytetään:

- Jos samaa symmetriaa käytetään kahdesti, tulos on identiteetti.

- Jos kahta rinnakkaista akselia kohti sovelletaan kahta symmetriaa, tulos on käännös ja sen siirtymä on kaksinkertainen näiden akselien etäisyydelle:

- Jos käytetään kahta symmetriaa kahdelle akselille, jotka leikataan O-pisteessä (keskellä), saavutetaan kierto keskellä O: lla ja sen kulma on kaksinkertainen akselien muodostamaan kulmaan:

viittaukset

  1. V Burgués, J. F. (1988). Materiaalit geometrian rakentamiseksi. Madrid: Synteesi.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Tekninen piirustus II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Geometrian perusteet Meksiko: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometria A Transformation Approach. USA: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). CABRI-ympäristön jäykkien muunnosten opetuksen induktio ja virallistaminen.
  6. , P. J. (1996). Tasojen isometriaryhmä. Madrid: Synteesi.
  7. Suárez, A. C. (2010). Transformaatiot tasossa. Gurabo, Puerto Rico: AMCT .