Bayes-lauseen selitys, sovellukset, harjoitukset

Bayes-lause on prosessi, jonka avulla voimme ilmaista satunnaisen tapahtuman A antaman ehdollisen todennäköisyyden B: n tapahtuman B todennäköisyydenjakauman ja vain A: n todennäköisyysjakauman..

Tämä lause on erittäin hyödyllinen, koska sen ansiosta voimme liittää todennäköisyyden, että tapahtuma A tapahtuu tietäen, että B tapahtui todennäköisyydellä, että päinvastainen tapahtuu, toisin sanoen, että B esiintyy antamalla A.

Bayesin lause oli hopeaesitys, jonka teki kahdeksastoista-luvun englanninkielinen teologi Thomas Bayes, joka oli myös matemaatikko. Hän oli useiden teologian teosten tekijä, mutta on tällä hetkellä tunnettu pari matemaattista harjoitusta, joista edellä mainittu Bayes-lause on tärkein tulos..

Bayes käsitteli tätä teoriaa vuonna 1763 julkaistussa artikkelissa "Essee kohti ongelman ratkaisua", josta on kehitetty suuria teoksia ongelman ratkaisemiseksi mahdollisuuksien opissa. Tutkimukset sovelluksilla eri osaamisalueilla.

indeksi

• 1 Selitys
• 2 Bayes-lauseen sovellukset
  • 2.1 Ratkaistut harjoitukset
• 3 Viitteet

selitys

Ensinnäkin tämän teorian lisäämiseksi tarvitaan joitakin todennäköisyysteorian peruskäsitteitä, etenkin ehdollisen todennäköisyyden kertolaskelmaa, jossa todetaan, että

E: n ja A: n mielivaltaisten tapahtumien osalta.

Ja osioiden määritelmä, joka kertoo meille, että jos meillä on A₁ ,₂,..., A_n näytetilan S tapahtumat, nämä muodostavat S: n osion, jos A_minä ne ovat toisiaan poissulkevia ja heidän liitonsa on S.

Ottaen tämän, anna B olla toinen tapahtuma. Sitten voimme nähdä B: n

Missä A_minä B: llä risteytetyt ovat keskenään poissulkevia tapahtumia.

Ja näin ollen,

Sitten sovelletaan kertolaskua

Toisaalta Ai: n ehdollisen todennäköisyyden, joka on annettu B: lle, määrittelee

Riittävän korvaaminen meidän on oltava jokaiselle i

Bayes-lauseen sovellukset

Tämän tuloksena tutkimusryhmät ja erilaiset yritykset ovat onnistuneet parantamaan tietoon perustuvia järjestelmiä.

Esimerkiksi sairaustutkimuksessa Bayesin lause voi auttaa havaitsemaan todennäköisyyttä, että tauti löytyy ryhmästä ihmisistä, joilla on tietty ominaisuus, kun otetaan huomioon taudin maailmanlaajuiset nopeudet ja mainittujen ominaisuuksien vallitsevuus. ihmiset sekä terveitä että sairaita.

Toisaalta korkean teknologian maailmassa on vaikuttanut suuriin yrityksiin, jotka ovat tämän tuloksen ansiosta kehittäneet tietoon perustuvaa ohjelmistoa.

Meillä on jokapäiväinen esimerkki Microsoft Office -apulaisesta. Bayes-lause auttaa ohjelmistoa arvioimaan ongelmat, joita käyttäjä esittää ja määrittelee, mitä neuvoja tarjota, ja siten pystyä tarjoamaan parempaa palvelua käyttäjän tapojen mukaan.

On huomattava, että tätä kaavaa ei otettu huomioon vasta viime aikoina, mikä johtuu lähinnä siitä, että kun tätä tulosta kehitettiin 200 vuotta sitten, niitä käytettiin vähän käytännössä. Aikana, suurten teknologisten edistysaskeleiden ansiosta tiedemiehet ovat saavuttaneet tapoja toteuttaa tämä tulos käytännössä.

Ratkaistut harjoitukset

Harjoitus 1

Matkapuhelinyrityksellä on kaksi A- ja B-konetta. 54% tuotetuista matkapuhelimista tehdään A-koneella ja loput koneella B. Kukin tuotettu matkapuhelin ei ole kunnossa.

A: n tekemien viallisten matkapuhelinten osuus on 0,2 ja B on 0,5. Mikä on todennäköisyys, että mainitun tehtaan matkapuhelin on viallinen? Mikä on todennäköisyys, että tietäen, että matkapuhelin on viallinen, se tulee koneelta A?

ratkaisu

Tässä on kokeilu, joka tehdään kahdessa osassa; ensimmäisessä osassa tapahtumia tapahtuu:

A: Koneen A tekemä matkapuhelin.

B: koneen B tekemä matkapuhelin.

Koska kone A tuottaa 54% matkapuhelimista ja loput tuotetaan koneella B, kone B tuottaa 46% matkapuhelimista. Näiden tapahtumien todennäköisyydet annetaan:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Kokeilun toisen osan tapahtumat ovat:

D: viallinen solu.

E: ei-viallinen solu.

Kuten lausunnossa todetaan, näiden tapahtumien todennäköisyydet riippuvat ensimmäisessä osassa saadusta tuloksesta:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Näiden arvojen avulla voit myös määrittää näiden tapahtumien täydennysten todennäköisyydet:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

ja

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Nyt tapahtuma D voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Käyttämällä kertolaskua ehdollisen todennäköisyyden osalta:

Mihin ensimmäiseen kysymykseen vastataan.

Nyt meidän on vain laskettava P (A | D), jolle Bayes-lause on voimassa:

Bayes-teorian ansiosta voidaan sanoa, että todennäköisyys, että matkapuhelin on valmistettu koneella A tietäen, että matkapuhelin on viallinen, on 0,319.

Harjoitus 2

Kolme laatikkoa sisältää valkoisia ja mustia palloja. Niiden koostumus on seuraava: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Yksi laatikoista valitaan satunnaisesti, ja siitä poistetaan satunnainen pallo, joka osoittautuu valkoiseksi. Mikä on laatikko, joka todennäköisesti on valittu?

ratkaisu

U1: n, U2: n ja U3: n kautta edustamme myös valittua laatikkoa.

Nämä tapahtumat muodostavat S: n osion ja varmistetaan, että P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, koska laatikon valinta on satunnainen.

Jos B = erotettu pallo on valkoinen, meillä on P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Mitä haluamme saada, on todennäköisyys, että pallo otettiin pois laatikosta Ui tietäen, että pallo oli valkoinen, eli P (Ui | B), ja katso, kumpi kolmesta arvosta oli korkein tietää, mikä ruutuun on todennäköisimmin otettu valkoista palloa.

Bayes-lauseen soveltaminen ensimmäiseen laatikkoon:

Kaksi muuta:

P (U2 | B) = 2/6 ja P (U3 | B) = 1/6.

Sitten ensimmäinen laatikoista on se, jolla on suurempi todennäköisyys, että valitaan valkoisen pallon poistamiseen.

viittaukset

1. Kai Lai Chung Elementaarinen toteutettavuusteoria ja stokastiset prosessit. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Todennäköisyys ja tilastosovellukset. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Discrete Mathematics Solved -ongelmat. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Todennäköisyyden teoria ja ongelmat. McGraw-Hill.