Mitä ovat suhteelliset serkut? Ominaisuudet ja esimerkit

Sitä kutsutaan suhteelliset serkut (koprimot tai serkut toisiinsa nähden) mihin tahansa kokonaislukujen pariin, joilla ei ole yhteistä jakajaa, paitsi 1.

Toisin sanoen kaksi kokonaislukua ovat suhteellisia serkkuja, jos heillä ei ole yhteisiä tekijöitä prime-numeroissa.

Esimerkiksi, jos valitaan 4 ja 25, kummankin prime-tekijän hajoamiset ovat vastaavasti 2² ja 5². Kuten arvostetaan, näillä ei ole mitään yhteistä tekijää, joten 4 ja 25 ovat suhteellisia serkkuja.

Toisaalta, jos 6 ja 24 valitaan, suoritettaessa niiden hajoamiset alkutekijöissä saadaan 6 = 2 * 3 ja 24 = 2³ * 3.

Kuten näette, näillä kahdella viimeisellä ilmaisulla on ainakin yksi yhteinen tekijä, joten ne eivät ole suhteellisia primejä.

Suhteelliset serkut

Yksi asia, joka on varovainen, on se, että kokonaislukujen suhteellinen prime on se, että tämä ei tarkoita sitä, että jokin niistä on ensisijainen numero.

Toisaalta edellä oleva määritelmä voidaan tiivistää seuraavasti: kaksi kokonaislukua "a" ja "b" ovat suhteellisia primejä, jos ja vain, jos niiden suurin yhteinen jakaja on 1, eli mcd ( a, b) = 1.

Tämän määritelmän kaksi välitöntä johtopäätöstä ovat seuraavat:

-Jos "a" (tai "b") on alkuluku, niin mcd (a, b) = 1.

-Jos "a" ja "b" ovat prime-numeroita, niin mcd (a, b) = 1.

Toisin sanoen, jos ainakin yksi valituista numeroista on prime-numero, niin suoraan numeroparit ovat suhteellisia primejä.

Muut ominaisuudet

Muita tuloksia, joita käytetään määrittämään, ovatko kaksi numeroa suhteellisia primejä, ovat:

-Jos kaksi kokonaislukua ovat peräkkäisiä, nämä ovat suhteellisia serkkuja.

-Kaksi luonnollista numeroa "a" ja "b" ovat suhteellisia primejä, jos ja vain, jos numerot "(2 ^ a) -1" ja "(2 ^ b) -1" ovat suhteellisia primejä.

-Kaksi kokonaislukua "a" ja "b" ovat suhteellisia primejä, jos ja vain jos, piirtämällä piste (a, b) Cartesian tasossa ja rakentamaan linjan, joka kulkee alkuperän (0,0) ja (a) kautta , b) tämä ei sisällä pisteitä, joissa on kokonaisia ​​koordinaatteja.

esimerkit

1.- Tarkastellaan kokonaislukuja 5 ja 12. Molempien numeroiden ensisijaiset tekijät ovat: 5 ja 2² * 3. Lopuksi, gcd (5,12) = 1, siis 5 ja 12 ovat suhteellisia primejä.

2.- Anna numerot -4 ja 6. Sitten -4 = -2² ja 6 = 2 * 3, niin että LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Lopuksi -4 ja 6 eivät ole suhteellisia serkkuja.

Jos siirrymme järjestämään rivin, joka kulkee tilattujen parien (-4.6) ja (0.0) läpi, ja määrittää tämän rivin yhtälön, voimme varmistaa, että se kulkee pisteen läpi (-2.3).

Jälleen päätellään, että -4 ja 6 eivät ole suhteellisia serkkuja.

3.- Numerot 7 ja 44 ovat suhteellisia primejä ja ne voidaan nopeasti päätellä edellä esitetyn ansiosta, koska 7 on prime-luku.

4.- Tarkastellaan numeroita 345 ja 346. Koska kaksi peräkkäistä numeroa on todettu, että mcd (345 346) = 1, siis 345 ja 346 ovat suhteellisia primejä.

5.- Jos numerot 147 ja 74 otetaan huomioon, nämä ovat suhteellisia serkkuja, koska 147 = 3 * 7² ja 74 = 2 * 37, joten gcd (147,74) = 1.

6.- Numerot 4 ja 9 ovat suhteellisia primejä. Tämän osoittamiseksi voidaan käyttää toista edellä mainittua karakterisointia. Itse asiassa 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 ja 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Saadut numerot ovat 15 ja 511. Näiden lukujen alkutekijän hajoamiset ovat vastaavasti 3 * 5 ja 7 * 73, joten mcd (15 511) = 1.

Kuten näette, toisen karakterisoinnin käyttö on pidempi ja työläs tehtävä kuin sen suoraan tarkistaminen.

7.- Harkitse numeroita -22 ja -27. Sitten nämä numerot voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: -22 = -2 * 11 ja -27 = -3³. Siksi gcd (-22, -27) = 1, joten -22 ja -27 ovat suhteellisia primejä.

viittaukset

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., ja Soto, A. (1998). Numeroteorian esittely. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmeettiset elementit. Callejan lordien ja lasten poikien kirjakauppa.
3. Castañeda, S. (2016). Numeroteorian peruskurssi. Pohjoisen yliopisto.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Koko numeroiden sarja. EUNED.
5. Opettajankoulutuslaitos (Espanja), J. L. (2004). Lapsen ympäristön numerot, muodot ja määrät. Opetusministeriö.
6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Käytännön matematiikka: aritmeettinen, algebra, geometria, trigonometria ja diaesitys (uusintapainos.). Reverte.
7. Rock, N. M. (2006). Algebra I on helppoa! Niin helppoa. Team Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). algebra. Pearson Education.
9. Szecsei, D. (2006). Basic Math ja Pre-Algebra (kuvitettu ed.). Työpaikat.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematiikan kurssi. Toimituksellinen Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A., ja Colorado, H. (2010). Aritmeettiset perusperiaatteet. ELIZCOM S.A.S.