Mitkä ovat trigonometriset rajat? (ratkaisuilla)

trigonometriset rajat ne ovat funktioiden rajoja siten, että nämä toiminnot muodostuvat trigonometrisista toiminnoista.

On olemassa kaksi määritelmää, jotka on tiedettävä, jotta voidaan ymmärtää, kuinka trigonometrinen raja lasketaan.

Nämä määritelmät ovat:

- Funktion "f" raja, kun "x" pyrkii "b": se koostuu laskettaessa arvon, johon f (x) lähestyy "x" lähestyy "b", saavuttamatta "b": tä.

- Trigonometriset toiminnot: trigonometriset funktiot ovat sini-, kosini- ja tangenttitoiminnot, jotka on merkitty sin (x), cos (x) ja tan (x) vastaavasti.

Muut trigonometriset toiminnot saadaan edellä mainituista kolmesta toiminnosta.

Toimintojen rajat

Toiminnon rajan käsitteen selventämiseksi näytetään joitakin esimerkkejä yksinkertaisilla toiminnoilla.

- F (x) = 3 raja, kun "x" pyrkii "8": iin, on yhtä suuri kuin "3", koska toiminto on aina vakio. Riippumatta siitä, kuinka paljon "x" on arvoinen, f (x): n arvo on aina "3"..

- F (x) = x-2 raja, kun "x" on "6", on "4". Koska "x" lähestyy "6", "x-2" lähestyy "6-2 = 4".

- G (x) = x², kun "x" pyrkii "3": een, on yhtä suuri kuin 9, koska kun "x" lähestyy "3", "x2" lähestyy "3² = 9".

Kuten edellisistä esimerkeistä voidaan nähdä, raja-arvon laskeminen käsittää arvon, johon "x" pyrkii toiminnassa, arvioinnin, ja tulos on rajan arvo, vaikka tämä pätee vain jatkuviin toimintoihin.

Onko olemassa monimutkaisempia rajoja?

Vastaus on kyllä. Edellä olevat esimerkit ovat yksinkertaisimpia esimerkkejä rajoista. Laskentakirjoissa tärkeimmät rajoitukset ovat ne, jotka luovat määrittämättömyyden tyypin 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ja (∞) ^ 0.

Näitä ilmaisuja kutsutaan indeterminaatioiksi, koska ne ovat ilmauksia, jotka matemaattisesti eivät ole järkeviä.

Sen lisäksi, riippuen alkuperäisessä raja-arvossa olevista toiminnoista, määrittelemättömien ratkaisujen tulos voi olla erilainen kussakin tapauksessa.

Esimerkkejä yksinkertaisista trigonometrisista rajoista

Rajojen ratkaisemiseksi on aina hyödyllistä tietää kyseisten toimintojen kaaviot. Alla on kaaviot sini-, kosini- ja tangenttitoiminnoista.

Esimerkkejä yksinkertaisista trigonometrisista rajoista ovat:

- Laske sin (x) raja, kun "x" pyrkii "0": een.

Kun tarkastelet kuvaajan, näet, että jos "x" lähestyy "0" (sekä vasemmalla että oikealla), niin sininen kaavio lähestyy myös "0". Siksi sin (x) raja, kun "x" pyrkii "0": een, on "0".

- Laske cos (x): n raja, kun "x" pyrkii "0": een.

Kosiniinigrafiikkaa tarkasteltaessa voidaan nähdä, että kun "x" on lähellä "0", niin kosinikuvaaja on lähellä "1". Tämä tarkoittaa, että cos (x): n raja, kun "x" pyrkii "0": iin, on yhtä suuri kuin "1".

Raja voi olla (olla numero), kuten edellisissä esimerkeissä, mutta voi myös tapahtua, että sitä ei ole olemassa kuten seuraavassa esimerkissä.

- Tan (x) raja, kun "x" pyrkii "Π / 2" vasemmalle, on yhtä suuri kuin "+ ∞", kuten kuviosta näkyy. Toisaalta tan (x) raja, kun "x" pyrkii "-Π / 2": een oikealla, on yhtä suuri kuin "-∞".

Trigonometristen rajojen identiteetit

Kaksi erittäin hyödyllistä identiteettiä trigonometristen raja-arvojen laskennassa ovat:

- "Sin" (x) / x ", kun" x "pyrkii" 0 ": een, on yhtä suuri kuin" 1 ".

- "(1-cos (x)) / x", kun "x" on "0", raja on yhtä suuri kuin "0".

Näitä identiteettejä käytetään hyvin usein, kun sinulla on jonkinlainen määrittämättömyys.

Ratkaistut harjoitukset

Ratkaise seuraavat rajat käyttämällä yllä kuvattuja identiteettejä.

- Laske "f (x) = sin (3x) / x" raja, kun "x" pyrkii "0": een.

Jos funktio "f" arvioidaan "0": ssa, saadaan tyypin 0/0 määrittely. Siksi meidän on yritettävä ratkaista tämä määrittämättömyys käyttäen kuvattuja identiteettejä.

Ainoa ero tämän raja-arvon ja identiteetin välillä on numero 3, joka näkyy sini-funktion sisällä. Identiteetin soveltamiseksi funktio "f (x)" on kirjoitettava uudelleen seuraavasti: "3 * (sin (3x) / 3x)". Nyt sekä sinisen argumentin että nimittäjän argumentit ovat yhtä suuret.

Joten kun "x" pyrkii "0": een, käytetään identiteettiä käyttämällä "3 * 1 = 3". Siksi f (x): n raja, kun "x" pyrkii "0": iin, on yhtä suuri kuin "3".

- Laske "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" raja, kun "x" pyrkii "0": een.

Kun "x = 0" on korvattu g (x): ssä, saadaan tyypin ∞-∞ määrittely. Sen ratkaisemiseksi fraktiot vähennetään, jolloin saadaan tulos "(1-cos (x)) / x".

Kun nyt käytetään toista trigonometristä identiteettiä, meillä on g (x): n raja, kun "x" pyrkii "0": een on 0.

- Laske "h (x) = 4tan (5x) / 5x" raja, kun "x" pyrkii "0": een.

Jos taas arvioit h (x): n "0": ksi, saat määrittelemätön tyypin 0/0.

Uudelleen kirjoittaminen tan (5x) kuin sin (5x) / cos (5x) tulokset, että h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Käyttämällä rajaa 4 / cos (x), kun "x" pyrkii "0": een, on sama kuin "4/1 = 4" ja ensimmäinen trigonometrinen identiteetti saadaan siten, että h (x): n raja, kun "x" taipuu "0" on "1 * 4 = 4".

havainto

Trigonometrisiä rajoja ei aina ole helppo ratkaista. Tässä artikkelissa esitettiin vain perusesimerkkejä.

viittaukset

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematiikka. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus-matematiikka: ongelmanratkaisutapa (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 toim.). Cengage-oppiminen.
5. Leal, J. M., ja Viloria, N. G. (2005). Tasainen analyyttinen geometria. Mérida - Venezuela: toimituksellinen Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). laskelma (Yhdeksäs ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differential calculus, jossa on varhaisia ​​transsendenttisia toimintoja tiede ja tekniikka (Second Edition ed.). hypotenuusa.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, osa: Analyyttiset kartiot (1907) (uusintapainos.). Salaman lähde.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.