Tuotteiden rajat, sovellukset ja ratkaisut

Ristituote tai tuote-vektori Se on tapa moninkertaistaa kaksi tai useampia vektoreita. Vektoreita voi kertoa kolmella tavalla, mutta mikään näistä ei ole kertominen sanan tavallisessa merkityksessä. Yksi näistä muodoista tunnetaan vektorituotteena, joka johtaa kolmanteen vektoriin.

Vektorituotteella, jota kutsutaan myös ristituotteeksi tai ulkoiseksi tuotteeksi, on erilaiset algebralliset ja geometriset ominaisuudet. Nämä ominaisuudet ovat erittäin hyödyllisiä erityisesti fysiikan tutkimuksessa.

indeksi

• 1 Määritelmä
• 2 Ominaisuudet
  • 2.1 Omaisuus 1
  • 2.2 Kiinteistö 2
  • 2.3 Kiinteistö 3
  • 2.4 Kiinteistö 4 (kolminkertainen skalaarituote)
  • 2.5 Omaisuus 5 (kolminkertainen vektorituote)
  • 2.6 Omaisuus 6
  • 2.7 Omaisuus 7
  • 2.8 Omaisuus 8
• 3 Sovellukset
  • 3.1 Rinnakkaiskipin tilavuuslaskenta
• 4 Harjoitukset ratkaistu
  • 4.1 Harjoitus 1
  • 4.2 Harjoitus 2
• 5 Viitteet

määritelmä

Vektorituotteen muodollinen määritelmä on seuraava: jos A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3) ovat vektoreita, niin A: n ja B: n vektorituote, jota me merkitsemme AxB: ksi, on:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Merkinnän AxB takia se lukee "A cross B".

Esimerkki ulkoisen tuotteen käytöstä on, että jos A = (1, 2, 3) ja B = (3, -2, 4) ovat vektoreita, käytämme vektorituotteen määritelmää:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Toinen tapa ilmentää vektorituotetta annetaan determinanttien merkinnällä.

Toisen kertaluvun määrittäminen lasketaan seuraavasti:

Siksi määritelmässä esitettyä vektorituotteen kaavaa voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Tätä yksinkertaistetaan yleensä kolmannessa järjestyksessä seuraavasti:

Jos i, j, k edustavat vektoreita, jotka muodostavat R: n perustan³.

Tällä tavalla ilmaisemalla ristituotetta meillä on, että edellinen esimerkki voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

ominaisuudet

Jotkin ominaisuudet, joita vektorituotteella on, ovat seuraavat:

Kiinteistö 1

Jos A on mikä tahansa vektori R: ssä³, Meidän on:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Näitä ominaisuuksia on helppo tarkistaa vain määritelmän avulla. Jos A = (a1, a2, a3) meidän on:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jos i, j, k edustavat R: n yksikköperustaa³, Voimme kirjoittaa ne seuraavasti:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Sitten meidän on täytettävä seuraavat ominaisuudet:

Muistiohjeena, että muistat nämä ominaisuudet, käytetään yleensä seuraavaa ympyrää:

Siinä pitäisi huomata, että mikä tahansa vektori itsessään johtaa vektoriin 0, ja loput tuotteet voidaan saada seuraavalla säännöllä:

Kahden peräkkäisen vektorin ristituote myötäpäivään antaa seuraavan vektorin; ja kun tarkastellaan vastapäivään, tulos on seuraava vektori, jolla on negatiivinen merkki.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voimme nähdä, että vektorituote ei ole kommutatiivinen; esimerkiksi riittää, että huomataan, että i x j ≠ j x i. Seuraava ominaisuus kertoo, miten AxB ja BxA liittyvät yleisesti.

Kiinteistö 2

Jos A ja B ovat R-vektoreita³, Meidän on:

AxB = - (BxA).

show

Jos A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3), ulkoisen tuotteen määritelmän mukaan meillä on:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Voimme myös huomata, että tämä tuote ei ole yhdistetty seuraavaan esimerkkiin:

ix (ixj) = ixk = - j, mutta (ixi) xj = 0xj = 0

Tästä voimme todeta, että:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Kiinteistö 3

Jos A, B, C ovat R-vektoreita³ ja r on todellinen numero, seuraava on totta:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = akseli (rB)

Näiden ominaisuuksien ansiosta voimme laskea vektorituotteen käyttämällä algebran lakeja edellyttäen, että tilausta noudatetaan. Esimerkiksi:

Jos A = (1, 2, 3) ja B = (3, -2, 4), voimme kirjoittaa ne uudelleen R: n kanonisen pohjan perusteella³.

Siten A = i + 2j + 3k ja B = 3i - 2j + 4k. Sitten sovelletaan aiempia ominaisuuksia:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Kiinteistö 4 (kolminkertainen skalaarituote)

Kuten alussa mainitsimme, on muitakin tapoja kertoa vektoreja vektorituotteen lisäksi. Yksi näistä tavoista on skalaarinen tuote tai sisäinen tuote, jota kutsutaan nimellä A ∙ B ja jonka määritelmä on:

Jos A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3), niin A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Molemmat tuotteet liittyvät ominaisuus tunnetaan kolminkertaisena skalaarisena tuotteena.

Jos A, B ja C ovat R-vektoreita³, sitten A ∙ BxC = AxB ∙ C

Esimerkiksi, katsotaanpa, että kun A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ja C = (- 5, 1, - 4), tämä ominaisuus on täytetty.

BxC = - 3 k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A = BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Toisaalta:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Toinen kolminkertainen tuote on Ax (BxC), joka tunnetaan kolminkertaisena vektorituotteena.

Kiinteistö 5 (kolminkertainen vektorituote)

Jos A, B ja C ovat R-vektoreita³,  niin:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Esimerkiksi, katsotaanpa, että kun A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ja C = (- 5, 1, - 4), tämä ominaisuus on täytetty.

Edellisestä esimerkistä tiedämme, että BxC = (- 18, - 22, 17). Laske Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22 k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4 k

Toisaalta meidän on:

A = C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Joten meidän on:

(A ° C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Kiinteistö 6

Se on yksi vektorien geometrisista ominaisuuksista. Jos A ja B ovat kaksi vektoria R: ssä³ ja Θ on näiden välissä muodostettu kulma, sitten:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), jossa || ∙ || tarkoittaa vektorin moduulia tai suuruutta.

Tämän ominaisuuden geometrinen tulkinta on seuraava:

Olkoon A = PR ja B = PQ. Sitten vektorien A ja B muodostama kulma on kolmion RQP kulma P, kuten seuraavassa kuviossa esitetään.

Siten rinnakkaiskaavan alue vierekkäisillä sivuilla PR ja PQ on || A |||| B || sin (Θ), koska voimme perustaa || A || ja sen korkeus on || B || sin (Θ).

Tämän vuoksi voimme päätellä, että || AxB || on mainitun rinnakkaisogrammin alue.

esimerkki

Kun otetaan huomioon seuraavat nelikulmion P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) ja S (5,7, -3) pisteet, osoittavat, että mainittu nelikulmainen on rinnakkaiskaavio ja etsi sen alue.

Tätä varten määritetään ensin vektorit, jotka määrittävät nelikulmion sivujen suunnan. Tämä on:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kuten voimme havaita, A: lla ja C: llä on sama vektorijohtaja, jota varten molemmat ovat rinnakkaisia; samoin kuin se tapahtuu B: n ja D: n kanssa. Näin ollen päätellään, että PQRS on rinnakkaismittari.

Jos haluat, että mainitun rinnakkaisohjelman alue lasketaan, laskemme BxA: n:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Siksi neliöalue on:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Voidaan päätellä, että rinnakkaisogrammitila on neliöjuuri 89.

Kiinteistö 7

Kaksi vektoria A ja B ovat R: ssä rinnakkaisia³ kyllä ​​ja vain, jos AxB = 0

show

On selvää, että jos A tai B ovat nolla-vektori, seuraa, että AxB = 0. Koska nolla-vektori on yhdensuuntainen minkä tahansa muun vektorin kanssa, niin ominaisuus on pätevä.

Jos yksikään näistä kahdesta vektorista ei ole nolla-vektoria, niin niiden suuruudet ovat erilaisia ​​kuin nolla; eli molemmat || A || ≠ 0 | | B || ≠ 0, joten meidän on || AxB || = 0 jos ja vain jos sin (Θ) = 0, ja tämä tapahtuu, jos ja vain jos Θ = π tai Θ = 0.

Siksi voimme tehdä AxB = 0, jos ja vain jos Θ = π tai Θ = 0, joka tapahtuu vain, kun molemmat vektorit ovat rinnakkain toistensa kanssa.

Kiinteistö 8

Jos A ja B ovat kaksi vektoria R: ssä³, sitten AxB on kohtisuorassa sekä A: n että B: n suhteen.

show

Tätä esittelyä varten muista, että kaksi vektoria on kohtisuorassa, jos A ∙ B on nolla. Lisäksi tiedämme, että:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, mutta AxA on yhtä kuin 0. Siksi meidän on:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Näin voidaan päätellä, että A ja AxB ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Vastaavasti meidän on:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Koska BxB = 0, meidän on:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Siksi AxB ja B ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja tämä ominaisuus osoitetaan. Tämä on erittäin hyödyllistä, koska ne mahdollistavat tason yhtälön määrittämisen.

Esimerkki 1

Hanki yhtälö tasosta, joka kulkee pisteiden P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ja R (2, 1, 3) läpi.

Olkoon A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) ja B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Sitten A = - i + 3j + k ja B = i - 2j + k. Näiden kolmen pisteen muodostaman tason löytämiseksi riittää, että löydetään vektori, joka on normaali tasolle, joka on AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Tämän vektorin avulla ja ottaen piste P (1, 3, 2), voimme määrittää tason yhtälön seuraavasti:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Joten meillä on, että tason yhtälö on 5x + 2y - z - 9 = 0.

Esimerkki 2

Etsi taso P, joka sisältää pisteen P (4, 0, - 2) ja joka on kohtisuorassa kullekin tasolle x - y + z = 0 ja 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Tietäen, että normaali vektori tasoon ax + + cz + d = 0 on (a, b, c), meillä on, että (1, -1,1) on normaali vektori x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) on normaali vektori 2x + y - 4z - 5 = 0.

Siksi normaalivektorin haluttuun tasoon on oltava kohtisuorassa (1, -1,1) ja a (2, 1, - 4) kohtaan. Mainittu vektori on:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Sitten on, että haluttu taso on piste P (4,0, - 2) ja siinä on vektori (3,6,3) normaalina vektorina.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

sovellukset

Rinnakkaiskipin tilavuuden laskeminen

Sovellus, jossa on kolminkertainen skalaarinen tuote, on pystyttävä laskemaan yhdensuuntaisen piippauksen tilavuus, jonka reunat ovat vektorit A, B ja C, kuten kuviossa on esitetty

Voimme päätellä tämän sovelluksen seuraavalla tavalla: kuten aiemmin mainitsimme, vektori AxB on vektori, joka on normaali A: n ja B: n tasolle. Lisäksi on, että vektori - (AxB) on toinen vektori, joka on normaali mainitulle tasolle.

Valitsemme normaalin vektorin, joka muodostaa pienimmän kulman vektorin C kanssa; menettämättä yleisyyttä, anna AxB olla vektori, jonka kulma C: n kanssa on pienin.

Meillä on, että sekä AxB: llä että C: llä on sama lähtökohta. Lisäksi tiedämme, että rinnan suunnan suunta, joka muodostaa yhdensuuntaisen piipun pohjan, on || AxB ||. Siksi, jos rinnakkaisipipin korkeus saadaan h: sta, meillä on, että sen tilavuus on:

V = || AxB || h.

Toisaalta harkitse skalaarituotetta AxB: n ja C: n välillä, joka voidaan kuvata seuraavasti:

Trigonometrisillä ominaisuuksilla on kuitenkin se, että h = || C || cos (Θ), joten meidän on:

Tällä tavoin meidän on:

Yleisesti ottaen meillä on, että rinnakkaiskippauksen tilavuus saadaan kolminkertaisen skaalaustuotteen AxB ∙ C absoluuttisesta arvosta..

Ratkaistut harjoitukset

Harjoitus 1

Näiden pisteiden P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ja S = (2, 6, 9) perusteella nämä pisteet muodostavat yhdensuuntaisen, jonka reunat ne ovat PQ, PR ja PS. Määritä mainitun yhdensuuntaisen piipun tilavuus.

ratkaisu

Jos otamme:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Käyttämällä kolminkertaisen skalaarituotteen omaisuutta meidän on:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.

Siksi meillä on, että mainitun yhdensuuntaisen piippauksen tilavuus on 52.

Harjoitus 2

Määritä rinnakkaisipipin tilavuus, jonka reunat ovat A = PQ, B = PR ja C = PS, joissa pisteet P, Q, R ja S ovat (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) ja (2, 2, 5).

ratkaisu

Ensin on, että A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Laskemme AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Sitten laskemme AxB ∙ C: n:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Näin ollen päätellään, että mainitun yhdensuuntaisen piipun tilavuus on 1 kuutiometri.

viittaukset

1. Leithold, L. (1992). LASKEMINEN analyyttisellä geometrialla. HARLA, S.A.
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksiko: Continental.
3. Saenz, J. (s.f.). Vektorilaskenta 1ed. hypotenuusa.
4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorianalyysi 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Erilaisten muuttujien laskeminen 4ed. Mc Graw Hill.