Rinnakkaisimpia ominaisuuksia, tyyppejä, aluetta, tilavuutta

suuntaissärmiö on geometrinen runko, jonka muodostaa kuusi kasvoa, jonka pääominaisuus on, että kaikki niiden kasvot ovat yhdensuuntaisia ​​ja myös niiden vastakkaiset sivut ovat keskenään yhdensuuntaiset. Se on yleinen polyhedroni jokapäiväisessä elämässämme, koska se löytyy kenkälaatikoista, tiilen muodosta, mikroaaltouunin muodosta jne..

Polyhedrona on, että yhdensuuntaiset piiput ympäröivät rajallista äänenvoimakkuutta ja kaikki sen kasvot ovat tasaisia. Se on osa prismojen ryhmää, jotka ovat niitä polyhedraja, joissa kaikki niiden pisteet sisältyvät kahteen rinnakkaiseen tasoon.

indeksi

• 1 Rinnakkaisipipan elementit
  • 1.1 Kasvot
  • 1.2 Reunat
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonaali
  • 1.5 Keskus
• 2 Rinnakkaisnippujen ominaisuudet
• 3 tyyppiä
  • 3.1 Diagonaalien laskeminen
• 4 Alue
  • 4.1 Ortohedronin alue
  • 4.2 Kuution alue
  • 4.3 Rombohedronin alue
  • 4.4 Rombisen alueen alue
• 5 Rinnakkaiskippauksen määrä
  • 5.1 Täydellinen rinnakkaisnippu
• 6 Kirjallisuus

Rinnakkaiskippauksen elementit

Caras

Ne ovat kukin alue, joka on muodostettu rinnan suuntaisilla piireillä rajoittavilla rinnanogrammeilla. Rinnakkaiskipilla on kuusi kasvot, joissa jokaisella kasvolla on neljä vierekkäistä kasvoa ja toinen vastakkainen. Lisäksi kukin puoli on samansuuntainen sen päinvastaisen kanssa.

Aristas

Ne ovat kahden kasvojen yhteinen puoli. Kokonaisuudessaan yhdensuuntaisella piipillä on kaksitoista reunaa.

kärki

Se on yhteinen asia kolmelle kasvoille, jotka ovat vierekkäin toistensa kanssa kahdesta kahteen. Rinnakkaiskipillä on kahdeksan pisteitä.

diagonaalinen

Ottaen huomioon kaksi vastakkaista sivusuunnasta, voimme piirtää viivasegmentin, joka kulkee yhden pinnan kärjestä toisen vastakkaiselle pisteelle.

Tämä segmentti tunnetaan yhdensuuntaisen piipun diagonaalina. Kussakin yhdensuuntaisessa piipissä on neljä diagonaalia.

keskus

Se on kohta, jossa kaikki diagonaalit leikkaavat.

Rinnakkaiskipin ominaisuudet

Kuten mainitsimme, tässä geometrisessa rungossa on kaksitoista reunaa, kuusi kasvot ja kahdeksan huippua.

Rinnakkaiskipilla voit tunnistaa kolme sarjaa, jotka muodostuvat neljästä reunasta, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Lisäksi näiden sarjojen reunat täyttävät myös ominaisuuden, jonka pituus on sama.

Toinen ominaisuus, joka on yhdensuuntaisilla piireillä, on se, että ne ovat kuperia, toisin sanoen, jos otamme minkä tahansa pari, joka kuuluu rinnakkaiskipin sisäpuolelle, mainitun pisteiden määrittämä segmentti on myös rinnakkaisipipin sisällä..

Lisäksi rinnakkaispyörät, jotka ovat kupera polyhedra, noudattavat Eulerin teoriaa polyhedraa varten, mikä antaa meille yhteyden kasvojen määrän, reunojen lukumäärän ja pisteiden lukumäärän välillä. Tämä suhde annetaan seuraavan yhtälön muodossa:

C + V = A + 2

Tämä ominaisuus tunnetaan Eulerin ominaisuutena.

Missä C on kasvojen lukumäärä, V pisteiden lukumäärä ja A reunojen lukumäärä.

tyyppi

Voimme luokitella yhdensuuntaiset piipit niiden kasvojen perusteella seuraaviin tyyppeihin:

neljäkäs

Ne ovat yhdensuuntaisia ​​piikkejä, joissa heidän kasvonsa muodostuvat kuudesta suorakulmiosta. Jokainen suorakulmio on kohtisuorassa niiden kanssa, jotka jakavat reunan. Ne ovat yleisimpiä jokapäiväisessä elämässämme, joka on tavallinen kenkälaatikoiden ja tiilien tapa.

Cube tai tavallinen heksahelmi

Tämä on edellisen edellisen tapauksen tapaus, jossa jokainen kasvot ovat neliö.

Kuutio on myös osa geometrisia kappaleita, joita kutsutaan platonisiin kiintoaineiksi. Platoninen kiinteä aine on kupera polyhedroni, niin että sekä sen kasvot että sisäiset kulmat ovat yhtä suuria kuin toiset.

romboedro

Se on yhdensuuntaistulppa, jossa on timantteja. Nämä timantit ovat yhtä suuria keskenään, kun ne jakavat reunat.

Romboiedro

Sen kuusi kasvot ovat romboideja. Muista, että rhomboidi on monikulmio, jossa on neljä sivua ja neljä kulmaa, jotka ovat yhtä suuria kuin kaksi. Romboidit ovat rinnakkaismittareita, jotka eivät ole neliöitä, suorakulmioita tai rhomboja.

Toisaalta viistot yhdensuuntaiset piipit ovat sellaisia, joissa ainakin yksi korkeus ei ole samaa mieltä sen reunasta. Tähän luokitukseen voimme sisällyttää rhombohedroneja ja rhombichedroneja.

Diagonaalilaskenta

Voit laskea ortohedronin diagonaalin käyttämällä Pythagorien teoriaa R: lle³.

Muista, että ortohedronilla on ominaisuus, että kukin puoli on kohtisuorassa reunoja jakavien sivujen kanssa. Tästä voimme päätellä, että jokainen reuna on kohtisuorassa niiden kanssa, jotka jakavat kärjen.

Voit laskea ortohedronin diagonaalin pituuden seuraavasti:

1. Laskemme yhden kasvojen diagonaalin, jonka asetamme pohjaksi. Tätä varten käytämme Pythagorean teemaa. Nimeä tämä diagonaali d_b.

2. Sitten d_b voimme muodostaa uuden oikean kolmion, niin että mainitun kolmion hypotenuusu on diagonaali D, jota haetaan.

3. Käytämme jälleen Pythagorean-teemaa ja meillä on, että mainitun diagonaalin pituus on:

Toinen tapa laskea diagonaaleja graafisemmin on vapaiden vektorien summa.

Muistuta, että kaksi vapaata vektoria A ja B lisätään asettamalla vektorin B hännän vektorin A kärjellä.

Vektori (A + B) on se, joka alkaa A: n hännästä ja päättyy B: n kärjessä.

Harkitse rinnakkaiskippausta, johon haluamme laskea diagonaalin.

Tunnistamme reunat sopivasti suunnattujen vektorien avulla.

Sitten lisätään nämä vektorit ja tuloksena oleva vektori on yhdensuuntaisen piipun diagonaali.

alue

Rinnakkaiskipin pinta-ala annetaan kunkin kasvojen pinta-alan summan perusteella.

Jos määritämme yhden sivusta pohjana,

_L + 2A_B = Kokonaispinta-ala

Missä A_L on yhtä suuri kuin kaikkien tukiaseman vieressä olevien sivujen pinta-ala, jota kutsutaan sivupinta-alueeksi ja A_B on perusalue.

Riippuen siitä, millaisesta rinnakkaispipusta työskentelemme, voidaan kirjoittaa mainittu kaava uudelleen.

Ortoedronin alue

Se annetaan kaavalla

A = 2 (ab + bc + ca).

Esimerkki 1

Kun otetaan huomioon seuraava ortooppi, jonka sivut a = 6 cm, b = 8 cm ja c = 10 cm, lasketaan yhdensuuntaisen piipun pinta-ala ja sen diagonaalin pituus.

Käyttämällä kaavaa ortofedin alueelle meidän täytyy

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Huomaa, että koska se on ortohedron, minkä tahansa sen neljän diagonaalin pituus on sama.

Käyttämällä Pythagorean teemaa tilaa varten meidän on

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Kuution alue

Koska jokaisella reunalla on sama pituus, meillä on a = b ja a = c. Korvaaminen edellisessä kaavassa on

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Esimerkki 2

Pelikonsolin laatikko on kuution muotoinen. Jos haluamme pakata tämän ruudun lahjapaperilla, kuinka paljon paperia käytämme tietäen, että kuution reunojen pituus on 45 cm?

Käyttämällä kuution alueen kaavaa saadaan se

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Rombohedronin alue

Koska kaikki heidän kasvonsa ovat tasa-arvoisia, riittää, että lasketaan yksi niistä ja kerrotaan se kuudella.

Voimme laskea timantin alueen käyttämällä diagonaaleja seuraavalla kaavalla

_R = (Dd) / 2

Tätä kaavaa käyttäen seuraa, että rombohedronin kokonaispinta-ala on

_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Esimerkki 3

Seuraavan rombohedronin kasvot muodostuvat rombista, jonka diagonaalit ovat D = 7 cm ja d = 4 cm. Alueesi on

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Rombisen alue

Rombisen alueen laskemiseksi meidän on laskettava sen muodostavien romboidien pinta-ala. Koska yhdensuuntaiset piipit täyttävät ominaisuuden, jonka vastakkaisilla puolilla on sama alue, voimme yhdistää sivut kolmeen pariin.

Näin meillä on, että alueesi on

_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Missä b_minä ovat pohjat, jotka liittyvät sivuihin ja_minä sen suhteellinen korkeus vastaa mainittuja emäksiä.

Esimerkki 4

Harkitse seuraavaa rinnakkaiskippausta,

jossa puolella A ja sivulla A '(sen vastakkaisella puolella) on pohja b = 10 ja korkeuden h = 6 kohdalla. Merkityn alueen arvo on

₁ = 2 (10) (6) = 120

B: llä ja B': llä on sitten b = 4 ja h = 6

₂ = 2 (4) (6) = 48

Ja C ja C 'ovat b = 10 ja h = 5, joten

₃ = 2 (10) (5) = 100

Lopuksi rhombohedronin alue on

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Rinnakkaiskippauksen määrä

Kaava, joka antaa meille yhdensuuntaisen piippauksen tilavuuden, on yhden kasvon pinta-alan tuotto mainittua kasvoa vastaavalla korkeudella.

V = A_Ch_C

Riippuen yhdensuuntaisen piipun tyypistä mainittu kaava voidaan yksinkertaistaa.

Niinpä meillä on esimerkiksi se, että ortofedin volyymi annettaisiin

V = abc.

Kun a, b ja c edustavat ortohedronreunojen pituutta.

Ja erityisesti kuutio on

V = a³

Esimerkki 1

Evästeiden laatikoissa on kolme erilaista mallia, ja haluat tietää, missä näistä malleista voit tallentaa lisää evästeitä, toisin sanoen mitkä laatikot sisältävät suurimman määrän.

Ensimmäinen on kuutio, jonka reunan pituus on a = 10 cm

Sen tilavuus on V = 1000 cm³

Toisessa on reunat b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Sen vuoksi sen tilavuus on V = 765 cm³

Kolmas on e = 9 cm, f = 9 cm ja g = 13 cm

Ja sen tilavuus on V = 1053 cm³

Siksi suurin laatikko on kolmas.

Toinen menetelmä rinnakkaisipipedin tilavuuden saamiseksi on käyttää vektorialgebraa. Erityisesti kolminkertainen skalaarinen tuote.

Yksi geometrisista tulkinnoista, joissa on kolminkertainen skalaarinen tuote, on yhdensuuntaisen piipun tilavuus, jonka reunat ovat kolme vektoria, joilla on sama piste kuin lähtöpisteessä.

Tällä tavoin, jos meillä on yhdensuuntaiset piipit ja haluamme tietää, mikä sen tilavuus on, riittää, että se edustetaan R-koordinaatistossa.³ sopii yhteen sen huippuista alkuperän kanssa.

Sitten edustamme reunoja, jotka alkuperässä sopivat vektorien kanssa kuviossa esitetyllä tavalla.

Tällä tavoin meillä on, että mainitun rinnakkaisipipin tilavuus on

V = | AxB ∙ C |

Tai vastaavasti tilavuus on 3 × 3 -matriisin determinantti, joka muodostuu reunavektoreiden komponenteista.

Esimerkki 2

Edustamalla seuraavaa R: n rinnakkaiskippausta³ voimme nähdä, että vektorit, jotka määräävät sen, ovat seuraavat

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ja w = (-0,25, -4, 4)

Käyttämällä kolminkertaista skalaaria tuotetta

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Tästä päätellään, että V = 60

Tarkastellaan nyt seuraavaa R3: n rinnakkaiskippausta, jonka reunat määräävät vektorit

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ja C = (3, 4, 4)

Määrittävien tekijöiden käyttö antaa meille sen

Niinpä meillä on, että mainitun yhdensuuntaisen piipun tilavuus on 112.

Molemmat ovat vastaavia tapoja laskea tilavuus.

Täydellinen rinnakkaisnippu

Se tunnetaan Eulerin tiilinä (tai Eulerin lohkona) ortofonille, joka täyttää ominaisuuden, jonka sekä sen reunojen pituus että kunkin sen kasvojen diagonaalien pituus ovat kokonaislukuja.

Vaikka Euler ei ollut ensimmäinen tutkija, joka tutki ortohedroneja, jotka täyttävät kyseisen omaisuuden, hän löysi heistä mielenkiintoisia tuloksia.

Pienempi Eulerin tiili löydettiin Paul Halcke ja sen reunojen pituudet ovat a = 44, b = 117 ja c = 240.

Lukuteoriassa avoin ongelma on seuraava

Onko olemassa täydellisiä orthohedroneja?

Tällä hetkellä tähän kysymykseen ei voitu vastata, koska ei ole voitu osoittaa, että näitä elimiä ei ole, mutta kumpaakaan ei ole löydetty.

Tähän mennessä on osoitettu, että täydellisiä rinnakkaisviivoja on olemassa. Ensimmäisen löydettävän reunan pituudet ovat arvot 103, 106 ja 271.

bibliografia

1. Guy, R. (1981). Ratkaisemattomat ongelmat lukuteoriassa. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). geometria. edistyminen.
3. Leithold, L. (1992). LASKEMINEN analyyttisellä geometrialla. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Tekninen piirustus: Työkirja 3 2. Baccalaureate . tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksiko: Continental.