Pienin neliömetodi, ratkaistu harjoitus ja se, mitä se toimii



Menetelmä vähiten neliöitä on yksi tärkeimmistä sovelluksista lähentämisessä. Ajatuksena on löytää sellainen käyrä, että järjestettyjen parien joukko, tämä toiminto on lähempänä dataa. Toiminto voi olla linja, neliökäyrä, kuutiokäyrä jne..

Menetelmän ajatuksena on minimoida ordinaattien (komponentti Y) erojen neliöiden summa valitun toiminnon tuottamien pisteiden ja tietokokonaisuuteen kuuluvien pisteiden välillä..

indeksi

  • 1 pienimmän neliön menetelmä
  • 2 Harjoitukset ratkaistu
    • 2.1 Harjoitus 1
    • 2.2 Harjoitus 2
  • 3 Mitä se on??
  • 4 Viitteet

Vähiten neliöiden menetelmä

Ennen menetelmän antamista meidän on ensin selvitettävä, mitä "parempi lähestymistapa" tarkoittaa. Oletetaan, että etsimme riviä y = b + mx, joka parhaiten edustaa joukkoa n pisteitä, nimittäin (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Kuten edellisessä kuvassa on esitetty, jos muuttujat x ja y liittyivät linjaan y = b + mx, niin x = x1 y: n vastaava arvo olisi b + mx1. Tämä arvo on kuitenkin erilainen kuin y: n todellinen arvo, joka on y = y1.

Muista, että tasossa kahden pisteen välinen etäisyys annetaan seuraavalla kaavalla:

Tätä silmällä pitäen on määriteltävä, kuinka valita rivi y = b + mx, joka parhaiten lähentää annetut tiedot, on järkevää käyttää rivin valintaa, joka minimoi pisteiden välisten etäisyyksien neliöt kriteerinä ja suora.

Koska pisteiden (x1, y1) ja (x1, b + mx1) välinen etäisyys on y1- (b + mx1), ongelmamme on pienennetty lukujen m ja b löytämiseksi siten, että seuraava summa on minimaalinen:

Tämän ehdon mukainen rivi tunnetaan "pienimmän neliösumman rivin lähentämisenä pisteisiin (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Kun ongelma on ratkaistu, meidän täytyy vain valita menetelmä löytää pienimmän neliösumman lähentyminen. Jos pisteet (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) ovat kaikki rivillä y = mx + b, meidän pitäisi olla kollinaarisia ja:

Tässä lausekkeessa:

Lopuksi, jos pisteet eivät ole yhteneväisiä, niin y-Au = 0 ja ongelma voidaan kääntää vektorin löytämiseksi tai niin, että euklidisen normi on minimaalinen.

Minimoivan vektorin löytäminen ei ole niin vaikeaa kuin luulisi. Koska A on matriisi nx2 ja u on 2 × 1 matriisi, on, että vektori Au on vektori R: ssän ja se kuuluu A: n kuvaan, joka on R: n alipaikkan joiden mitat ovat enintään kaksi.

Oletetaan, että n = 3 näyttää mikä on menettely, jota tulisi noudattaa. Jos n = 3, A: n kuva on taso tai viiva, joka kulkee alkuperän läpi.

Olkoon v minimoivan vektorin. Kuvassa havainnollistetaan, että y-Au minimoidaan, kun se on kohtisuorassa A: n kuvaan nähden. Jos siis v on minimoiva vektori, niin tapahtuu, että:

Sitten voimme ilmaista edellä mainitun:

Tämä voi tapahtua vain, jos:

Lopuksi on poistettava v, meidän on:

Tämä on mahdollista, koska ATA on käännettävissä niin kauan kuin n pisteinä annetut tiedot eivät ole yhteneväisiä.

Jos nyt haluamme etsiä riviä, haluamme löytää parabolan (jonka ilmaisu olisi muodossa y = a + bx + cx2) joka oli parempi arvio n datapisteistä, menettely olisi seuraavanlainen.

Jos n datapisteet olisivat mainitussa parabolassa, sen olisi:

niin:

Samalla tavalla voimme kirjoittaa y = Au. Jos kaikki pisteet eivät ole parabolassa, meillä on se, että y-Au eroaa nollasta mihin tahansa vektoriin u ja meidän ongelma on jälleen: etsi vektori u R3: ssa niin, että sen normi || y-Au || oltava mahdollisimman pieniä.

Toistamalla edellisen menettelyn, voimme saapua vektoriin, jota haetaan:

Ratkaistut harjoitukset

Harjoitus 1

Etsi rivi, joka parhaiten vastaa pisteitä (1,4), (-2,5), (3, -1) ja (4,1).

ratkaisu

Meidän on:

niin:

Siksi päätämme, että pisteitä parhaiten sopiva rivi on:

Harjoitus 2

Oletetaan, että kohde pudotetaan 200 m korkeudesta. Pudotettaessa toteutetaan seuraavat toimenpiteet:

Tiedämme, että mainitun kohteen korkeus, kun se on kulunut ajassa t, on:

Jos haluamme saavuttaa g: n arvon, löydämme parabolan, joka on parempi lähentäminen taulukossa mainittuihin viiteen kohtaan, ja näin ollen meillä olisi kerroin, joka liittyy siihen.2 se on kohtuullinen likiarvo (-1/2) g, jos mittaukset ovat tarkkoja.

Meidän on:

Ja sitten:

Tietopisteitä säädetään siis seuraavalla neliöilmaisulla:

Sitten sinun on:

Tämä arvo on kohtuullisen lähellä oikeaa arvoa, joka on g = 9,81 m / s2. G: n tarkemman lähentämisen saamiseksi olisi tarpeen aloittaa tarkemmista havainnoista.

Mitä se on??

Luonnon- tai yhteiskuntatieteissä ilmenevissä ongelmissa on kätevää kirjoittaa eri muuttujien väliset suhteet jonkin matemaattisen ilmaisun avulla.

Voimme esimerkiksi yhdistää kustannukset (C), tulot (I) ja voitot (U) taloudessa yksinkertaisen kaavan avulla:

Fysiikassa voimme yhdistää painovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden, ajan, jona esine on pudonnut, ja kohteen korkeuden lain mukaan:

Edellisessä ilmaisussa stai on kyseisen kohteen alkukorkeus ja vtai on aloitusnopeus.

Tällaisten kaavojen löytäminen ei kuitenkaan ole yksinkertainen tehtävä; yleensä se, että ammattilainen on velvollinen työskentelemään monien tietojen kanssa ja suorittamaan useita kokeita toistuvasti (jotta voidaan varmistaa, että saadut tulokset ovat vakioita), löytää eri tietojen välisiä suhteita.

Tavallinen tapa saavuttaa tämä on edustaa tasossa saatuja tietoja pisteinä ja etsiä jatkuvaa toimintoa, joka lähestyy näitä pisteitä optimaalisesti.

Yksi tapa löytää funktio, joka "parhaiten lähentää" annettua dataa on pienimmän neliösumman menetelmällä.

Lisäksi, kuten näimme myös harjoituksessa, tämän menetelmän ansiosta voimme saada likiarvoja melko lähellä fyysisiä vakioita.

viittaukset

  1. Charles W Curtis Lineaarinen algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementaarinen toteutettavuusteoria ja stokastiset prosessit. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Numeerinen analyysi (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Lineaarisen algebran sovellukset. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineaarinen algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO