Osittaiset jakeet ja esimerkit

osittaiset jakeet ne ovat polynomien muodostamia fraktioita, joissa nimittäjä voi olla lineaarinen tai neliömäinen polynomi ja lisäksi se voidaan nostaa jonkin verran. Joskus, kun meillä on järkeviä toimintoja, on erittäin hyödyllistä kirjoittaa tämä toiminto uudelleen osittaisten jakeiden tai yksinkertaisten fraktioiden summana.

Tämä johtuu siitä, että tällä tavoin voimme manipuloida näitä toimintoja paremmin, erityisesti niissä tapauksissa, joissa on tarpeen integroida tämä sovellus. Rationaalinen toiminto on yksinkertaisesti kahden polynomin välinen jako, ja se voi olla oikea tai virheellinen.

Jos lukijan polynomin aste on pienempi kuin nimittäjä, sitä kutsutaan sen omaksi rationaaliseksi toiminnaksi; muuten sitä kutsutaan epäasianmukaiseksi järkeväksi toiminnaksi.

indeksi

• 1 Määritelmä
• 2 Kotelot
  • 2.1 Tapaus 1
  • 2.2 Tapaus 2
  • 2.3 Tapaus 3
  • 2.4 Tapaus 4
• 3 Sovellukset
  • 3.1 Kattava laskenta
  • 3.2 Massatoiminnan laki
  • 3.3 Eri yhtälöt: logistinen yhtälö
• 4 Viitteet

määritelmä

Kun meillä on virheellinen rationaalinen funktio, voimme jakaa lukijan polynomin nimittäjän polynomin välillä ja siten kirjoittaa fraktion p (x) / q (x) uudelleen jakauman algoritmia t (x) + s (x) / q (x), jossa t (x) on polynomi ja s (x) / q (x) on oman rationaalisen funktionsa.

Osittainen murto on mikä tahansa polynomien oikea funktio, jonka nimittäjä on muodoltaan (ax + b)ⁿ o (kirves²+ bx + c)ⁿ, jos polynomi kirves² + bx + c: llä ei ole todellisia juuria ja n on luonnollinen numero.

Rationaalisen funktion uudelleenkirjoittamiseksi osittaisissa jakeissa ensimmäinen asia on nimetä nimittäjä q (x) lineaaristen ja / tai neliömäisten tekijöiden tulokseksi. Kun tämä on tehty, määritetään osittaiset fraktiot, jotka riippuvat mainittujen tekijöiden luonteesta.

tapauksissa

Pidämme useita tapauksia erikseen.

Tapaus 1

Q (x): n tekijät ovat kaikki lineaarisia eikä yhtään toisteta. Se on:

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_sx + b_s)

Siinä lineaarinen tekijä ei ole sama kuin toinen. Kun tämä tapaus ilmenee, kirjoitamme:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

Missä A₁,₂,..., A_s ovat vakiot, jotka haluat löytää.

esimerkki

Haluamme hajottaa rationaalisen toiminnon yksinkertaisiksi osiksi:

(x - 1) / (x³+3x²+2x)

Siirrymme nimittäjän tekijöihin, eli:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

niin:

(x - 1) / (x³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Vähiten yleisiä useita kertoja käyttämällä voit saada:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Haluamme saada arvot vakioista A, B ja C, jotka löytyvät korvaamalla juuret, jotka peruuttavat kaikki termit. 0: n korvaaminen x: llä on:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Korvaaminen - 1 x: lle:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Korvaaminen - 2 x: llä on:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Tällä tavalla saadaan arvot A = -1/2, B = 2 ja C = -3/2..

On toinen menetelmä A: n, B: n ja C: n arvojen saamiseksi. Jos yhtälön x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x yhdistämme termejä, meillä on:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Koska tämä on polynomien tasa-arvo, on, että vasemman puolen kertoimet ovat yhtä suuret kuin oikean puolen. Tämä johtaa seuraavaan yhtälöjärjestelmään:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Ratkaisemalla tätä yhtälöjärjestelmää saadaan tulokset A = -1/2, B = 2 ja C = -3/2.

Lopuksi korvaamalla saamamme arvot meidän on:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Tapaus 2

Q (x): n tekijät ovat kaikki lineaarisia ja osa toistetaan. Oletetaan, että (ax + b) on kerroin "s" kertaa toistuva kerroin; sitten tähän tekijään vastaa "s" -difraktioiden summa.

_s/ (ax + b)^s + _s-1/ (ax + b)^s-1 +... + A₁/ (ax + b).

Missä A_s,_s-1,..., A₁ ne ovat määritettäviä vakioita. Seuraavalla esimerkillä näytämme, miten nämä vakiot määritetään.

esimerkki

Hajota osittain:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

Kirjoitamme järkevän toiminnon osittaisten murto-osien summana seuraavasti:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

niin:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

Korvaa 2 x: lle:

7 = 4C, eli C = 7/4.

0: n korvaaminen x: llä on:

- 1 = -8A tai A = 1/8.

Näiden arvojen korvaaminen edellisessä yhtälössä ja kehittymisessä on:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +dx³ - 2DX² + entinen²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

Kerroin keräämällä saadaan seuraava yhtälöjärjestelmä:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Järjestelmän ratkaiseminen:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Tämän vuoksi meidän on:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

Tapaus 3

Q (x): n tekijät ovat neliön lineaarisia, ilman mitään neliökerrointa. Tässä tapauksessa neliöarvo (kirves² + bx + c) vastaa osittaista fraktiota (Ax + B) / (kirves)² + bx + c), jossa vakiot A ja B ovat ne, jotka haluat määrittää.

Seuraava esimerkki osoittaa, miten tässä tapauksessa voidaan edetä

esimerkki

Hajota yksinkertaisiksi osiksi a (x + 1) / (x³ - 1).

Aloitetaan ensin tekijä, joka antaa meille tuloksena:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Näemme sen (x² + x + 1) on vähennettävä nelikulmainen polynomi; toisin sanoen sillä ei ole todellisia juuria. Sen hajoaminen osittaisiksi fraktioiksi on seuraava:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

Tästä saadaan seuraava yhtälö:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

Käyttämällä polynomien tasa-arvoa saamme seuraavan järjestelmän:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Tästä järjestelmästä on A = 2/3, B = - 2/3 ja C = 1/3. Korvaava, meidän on:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

Tapaus 4

Lopuksi tapaus 4 on sellainen, jossa q (x): n tekijät ovat lineaarisia ja neliökohtaisia, jolloin osa lineaarisista kvadratiivisista tekijöistä toistuu.

Tässä tapauksessa kyllä ​​(kirves² + bx + c) on neliökerroin, joka toistetaan "s" -aikana, sitten kertoimen (akseli) vastaava osittainen fraktio² + bx + c) ovat:

(A₁x + B) / (kirves² + bx + c) + ... + (A_s-1x + B_s-1) / (kirves)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + B_s) / (kirves)² + bx + c)^s

Missä A_s, _s-1,..., A ja B_s, B_s-1,..., B ovat vakiot, jotka haluat määrittää.

esimerkki

Haluamme hajottaa seuraavan rationaalisen funktion osittaisiksi osiksi:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

Kuten x² - 4x + 5 on vähennettävä neliöarvo, sillä sen hajoaminen osittaisiksi fraktioiksi on seuraava:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x + 5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Yksinkertaistaminen ja kehittäminen:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Edellä esitetystä seuraa seuraava yhtälöjärjestelmä:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Järjestelmän ratkaisussa meidän on:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ja E = - 3/5.

Kun vaihdat saatuja arvoja, meillä on:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

sovellukset

Kattava laskenta

Osittaisia ​​fraktioita käytetään pääasiassa integroidun laskennan tutkimukseen. Alla on esimerkkejä siitä, miten integraaleja voidaan tehdä osittaisilla jakeilla.

Esimerkki 1

Haluamme laskea integraalin:

Näemme, että nimittäjä q (x) = (t + 2)²(t + 1) koostuu lineaarisista tekijöistä, joissa yksi näistä toistoista; sillä olemme tässä tapauksessa 2.

Meidän on:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Me kirjoitamme yhtälön uudelleen ja meillä on:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Jos t = - 1, meidän on:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Jos t = - 2, se antaa meille:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Sitten, jos t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

A- ja C-arvojen korvaaminen:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Edellä esitetystä seuraa, että B = - 1.

Kirjoitamme integraalin uudelleen seuraavasti:

Ratkaisumme ratkaistaan ​​korvausmenetelmällä:

Tästä seuraa:

Esimerkki 2

Ratkaise seuraava integraali:

Tällöin voimme vaikuttaa q (x) = x² - 4 on q (x) = (x - 2) (x + 2). On selvää, että meillä on tapaus 1.

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Se voidaan ilmaista myös seuraavasti:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jos x = - 2, meillä on:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Ja jos x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Näin ollen meidän on ratkaistava annettu integraali, joka vastaa ratkaisua:

Tämä antaa meille tuloksena:

Esimerkki 3

Ratkaise integraali:

Meillä on q (x) = 9x⁴ + x² , että voimme tekijä q (x) = x²(9x² + 1).

Tällöin meillä on toistuva lineaarinen tekijä ja neliökerroin; toisin sanoen olemme tapauksessa 3.

Meidän on:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + dx²

Ryhmittelemme ja käyttävät polynomien tasa-arvoa:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Tästä yhtälöjärjestelmästä meidän on:

D = - 9 ja C = 0

Tällä tavoin meillä on:

Ratkaisemalla edellä mainitut seikat:

Massatoiminnan laki

Kemia sisältää mielenkiintoisen sovelluksen integroidulle laskulle sovelletuista osittaisista fraktioista, tarkemmin massatoiminnan laissa.

Oletetaan, että meillä on kaksi ainetta A ja B, jotka tulevat yhteen ja muodostavat aineen C, niin että C: n määrän johdannainen ajan suhteen on verrannollinen A: n ja B: n määrien tulokseen milloin tahansa.

Voimme ilmaista massatoiminnan lain seuraavasti:

Tässä lausekkeessa a on A: n ja B: n vastaava gramman alku- määrä, joka vastaa B: tä vastaavaa grammaa.

Lisäksi r ja s edustavat A: n ja B: n gramman lukumäärää, jotka yhdistyvät muodostamaan r + s grammaa C: tä. X puolestaan ​​edustaa aineen C grammojen lukumäärää ajanhetkellä t ja K on suhteellisuus. Yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Seuraavan muutoksen tekeminen:

Meillä on, että yhtälö tulee:

Tästä lausekkeesta voimme saada:

Jos kyllä ​​a ≠ b, osittaisjakeita voidaan käyttää integraatioon.

esimerkki

Otetaan esimerkiksi aine C, joka syntyy aineen A yhdistämisestä B: hen siten, että massojen laki täyttyy, kun a: n ja b: n arvot ovat vastaavasti 8 ja 6. Anna yhtälö, joka antaa meille arvon C grammoina ajan funktiona.

Korvaamalla arvot annetussa massalainsäädännössä, meillä on:

Kun erotat muuttujat, meillä on:

Tällöin 1 / (8 - x) (6 - x) voidaan kirjoittaa osittaisten fraktioiden summana seuraavasti:

Näin ollen 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jos korvataan x 6: lla, meillä on se B = 1/2; ja korvataan x 8: lla, meillä on A = - 1/2.

Integroimalla osittaiset jakeet:

Tämä antaa meille tuloksena:

Eri yhtälöt: logistinen yhtälö

Toinen sovellus, joka voidaan antaa osittaisjakeille, on logistinen differentiaaliyhtälö. Yksinkertaisissa malleissa on, että väestön kasvuvauhti on verrannollinen sen kokoon; se on:

Tämä tapaus on ihanteellinen, ja sitä pidetään realistisena, kunnes järjestelmän käytettävissä olevat resurssit eivät riitä väestön ylläpitämiseen.

Näissä tilanteissa on järkevämpää ajatella, että on olemassa maksimikapasiteetti, jota me kutsumme L: ksi, että järjestelmä voi ylläpitää ja että kasvunopeus on verrannollinen väestön kokoon kerrottuna käytettävissä olevasta koosta. Tämä argumentti johtaa seuraavaan differentiaaliyhtälöön:

Tätä ilmaisua kutsutaan logistiseksi differentiaaliyhtälöksi. Se on erotettavissa oleva differentiaaliyhtälö, joka voidaan ratkaista integrointimenetelmällä osittain.

esimerkki

Esimerkkinä voitaisiin tarkastella populaatiota, joka kasvaa seuraavan logistisen differentiaaliyhtälön y '= 0,0004y (1000 - y) mukaan, jonka alkutiedot ovat 400. Haluamme tietää populaation koon ajanhetkellä t = 2, jossa t mitataan vuosina.

Jos kirjoitamme a ja 'Leibniz-merkinnällä funktiona, joka riippuu t: stä, meidän on:

Vasemman puolen integraali voidaan ratkaista integrointimenetelmällä osittaisten fraktioiden avulla:

Tämä viimeinen tasa-arvo voidaan kirjoittaa seuraavasti:

- Y = 0: n korvaaminen on A 1/1000.

- Y = 1000 korvaaminen on, että B on 1/1000.

Näillä arvoilla integraali jätetään seuraavasti:

Ratkaisu on:

Alustavien tietojen käyttäminen:

Kun olet poistanut ja olemme jättäneet:

Sitten meillä on se t = 2:

Yhteenvetona voidaan todeta, että kahden vuoden kuluttua väestömäärä on noin 597,37.

viittaukset

1. A, R. A. (2012). Matematiikka 1. Andien yliopisto. Julkaisujen neuvosto.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 ratkaistu integraali. Tachiran kansallinen kokeellinen yliopisto.
3. Leithold, L. (1992). LASKEMINEN analyyttisellä geometrialla. HARLA, S.A.
4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). laskelma. Meksiko: Pearson Education.
5. Saenz, J. (s.f.). Kattava laskenta. hypotenuusa.