Lähestysten laskeminen käyttäen differentiaalia

Matematiikan lähentäminen on numero, joka ei ole jotain tarkkaa arvoa, mutta on niin lähellä sitä, että sitä pidetään hyödyllisenä kyseisenä tarkana arvona.

Kun matematiikassa tehdään likiarvoja, se johtuu siitä, että manuaalisesti on vaikeaa (tai joskus mahdotonta) tietää halutun arvon tarkka arvo.

Päätyökalu, kun työskentelet likiarvojen kanssa, on funktion ero.

Funktion f ero, joka on merkitty Δf (x), ei ole enempää kuin funktion f johdannainen, joka kerrotaan riippumattoman muuttujan muutoksella, eli Δf (x) = f '(x) * Δx.

Joskus käytetään df: tä ja dx: tä Δf: n ja Δx: n sijasta.

Lähestymistavat käyttämällä eroa

Kaava, jota sovelletaan lähentämisen tekemiseen differentiaalin kautta, syntyy juuri funktion johdannaisen määritelmästä rajana.

Tätä kaavaa antaa:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Tässä ymmärretään, että Δx = x-x0, siis x = x0 + Ax. Tätä käyttämällä kaava voidaan kirjoittaa uudelleen

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

On huomattava, että "x0" ei ole mielivaltainen arvo, vaan on sellainen arvo, että f (x0) on helposti tunnettu; Lisäksi "f (x)" on vain arvo, jonka haluamme lähentää.

Onko olemassa parempia arvioita?

Vastaus on kyllä. Edellinen on yksinkertaisin likiarvoista nimitystä "lineaarinen lähentäminen".

Paremman laadun lähentämiseksi (virhe on pienempi) käytetään polynomeja, joissa on enemmän johdannaisia ​​"Taylor-polynomeja", sekä muita numeerisia menetelmiä, kuten Newton-Raphson-menetelmää..

strategia

Seuraava strategia on:

- Valitse sopiva funktio f, joka suorittaa likiarvon, ja arvo "x" siten, että f (x) on arvo, jonka haluat arvioida.

- Valitse arvo "x0", lähellä "x", niin että f (x0) on helppo laskea.

- Laske Δx = x-x0.

- Laske funktion johdannainen ja f '(x0).

- Vaihda tiedot kaavassa.

Ratkaistut likiarvot

Jatkossa on joukko harjoituksia, joissa likiarvoja tehdään differentiaalilla.

Ensimmäinen harjoitus

Noin √3.

ratkaisu

Strategian mukaisesti on valittava sopiva toiminto. Tässä tapauksessa voidaan nähdä, että valittavan toiminnon on oltava f (x) = √x ja likimääräinen arvo f (3) = √3.

Nyt on valittava arvo "x0" lähellä "3", jotta f (x0) on helppo laskea. Jos valitset "x0 = 2", sinulla on "x0" lähellä "3", mutta f (x0) = f (2) = √2 ei ole helppo laskea.

"X0", joka on kätevä, arvo on "4", koska "4" on lähellä "3" ja myös f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jos "x = 3" ja "x0 = 4", niin Δx = 3-4 = -1. Nyt siirrymme laskemaan f: n johdannaisen. Toisin sanoen f '(x) = 1/2 * √x, joten f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Kaikkien kaavan korvaamien arvojen korvaaminen:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Jos käytetään laskinta, saadaan, että √3≈1.73205 ... Tämä osoittaa, että edellinen tulos on hyvä likiarvo todellisesta arvosta.

Toinen harjoitus

Noin √10.

ratkaisu

Kuten ennen, se valitaan funktioksi f (x) = √x ja tässä tapauksessa x = 10.

Tässä vaihtoehdossa valittava x0-arvo on "x0 = 9". Sitten on, että Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ja f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Kun arvioidaan kaavassa, saat sen

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3 666 ...

Laskimen avulla saat sen √10 ≈ 3.1622776 ... Tässä voit myös nähdä, että hyvä lähentyminen on saatu ennen.

Kolmas harjoitus

Noin ≥ 10, jossa ³√ tarkoittaa kuutiojuurta.

ratkaisu

On selvää, että tässä harjoituksessa käytettävä toiminto on f (x) = ³√x ja arvon "x" arvo on "10".

Arvo, joka on lähellä "10": tä siten, että sen kuutiojuuri tunnetaan, on "x0 = 8". Sitten meillä on se, että Δx = 10-8 = 2 ja f (x0) = f (8) = 2. Meillä on myös se, että f '(x) = 1/3 * ³√x², ja siten f' (8) = 1/3 * 3 8 8 = 1/3 * 3√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Kun kaavassa olevat tiedot korvataan, saadaan:

3 10 = f (10) 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666 ... .

Laskin sanoo, että ³√ 10 ≈ 2.15443469 ... Näin ollen löydetty likiarvo on hyvä.

Neljäs harjoitus

Noin ln (1,3), jossa "ln" tarkoittaa luonnollista logaritmitoimintoa.

ratkaisu

Ensin valitaan funktio f (x) = ln (x) ja arvo "x" on 1,3. Nyt, tietäen vähän logaritmitoiminnasta, voimme tietää, että ln (1) = 0, ja myös "1" on lähellä "1.3". Siksi "x0 = 1" valitaan ja Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Toisaalta f '(x) = 1 / x, niin että f' (1) = 1. Kun arvioidaan kyseisessä kaavassa, sinun täytyy:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Kun käytät laskinta, sinun täytyy ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Joten tehty likiarvo on hyvä.

viittaukset

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematiikka. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus-matematiikka: ongelmanratkaisutapa (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 toim.). Cengage-oppiminen.
5. Leal, J. M., ja Viloria, N. G. (2005). Tasainen analyyttinen geometria. Mérida - Venezuela: toimituksellinen Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). laskelma (Yhdeksäs ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differential calculus, jossa on varhaisia ​​transsendenttisia toimintoja tiede ja tekniikka (Second Edition ed.). hypotenuusa.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, osa: Analyyttiset kartiot (1907) (uusintapainos.). Salaman lähde.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.