Mikä on vektori ja mitkä ovat sen ominaisuudet?

vektori se on määrä tai ilmiö, jolla on kaksi itsenäistä ominaisuutta: suuruus ja suunta. Termi tarkoittaa myös tällaisen määrän matemaattista tai geometrista esitystä.

Esimerkkejä luonteeltaan vektoreista ovat nopeus, voima, sähkömagneettiset kentät ja paino. Määrää tai ilmiötä, joka näyttää vain suuruuden, ilman erityistä suuntaa, kutsutaan skalaariksi.

Esimerkkejä skalaareista ovat nopeus, massa, sähköinen vastus ja kovalevyn tallennuskapasiteetti.

Vektorit voidaan esittää graafisesti kahdessa tai kolmessa ulottuvuudessa. Suuruus näkyy segmentin pituisena. Suunta näkyy segmentin suuntauksella ja nuolella toisessa päässä.

Yllä olevassa kuvassa on kolme vektoreita kaksiulotteisissa suorakulmaisissa koordinaateissa (Cartesian taso) ja niiden ekvivalentit polaarikoordinaateissa.

Fysiikan vektorit

Fysiikassa, kun sinulla on vektori, sinun on otettava huomioon kaksi määrää: sen suunta ja sen suuruus. Nimikkeitä, joilla on vain yksi suuruus, kutsutaan skalaareiksi. Jos suunta annetaan skalaariselle määrälle, luodaan vektori.

Visuaalisesti näet vektoreita, jotka on piirretty nuoliksi, mikä on täydellinen, koska nuolella on selkeä suunta ja selkeä suuruus (nuolen pituus).

Seuraavassa kuvassa nuoli edustaa vektoria, joka alkaa nuolen juuresta (jota kutsutaan myös hännäksi) ja päättyy päähän.

Fysiikassa käytetään yleensä lihavoitua kirjainta edustamaan vektoria, vaikka se voidaan myös esittää kirjaimena, jossa on nuoli..

Nuoli tarkoittaa, että se ei ole vain skalaariarvo, jota edustaa A, vaan myös jotain suuntaan.

Vektorin ja skalaarin väliset erot

Arvot, jotka eivät ole vektoreita, ovat skalaaria. Esimerkiksi tällainen 500 omenan määrä on skalaari, sillä ei ole osoitetta, se on vain suuruusluokkaa. Aika on myös skalaari, sillä ei ole suuntaa.

Nopeus on kuitenkin vektori, koska se ei ainoastaan ​​määritä reitin suuruutta (nopeutta), vaan se osoittaa myös reitin suunnan (ja suunnan).

Esimerkiksi nopeusvektorin toimintalinja voi olla

olla 30 astetta vaakatasosta. Siksi tiedämme, mihin suuntaan kohde liikkuu.

Tämä ei kuitenkaan vielä määritä matkan suuntaa, olipa se poispäin tai lähemmäs meitä. Siksi määrittelemme myös suunnan, jolla vektori toimii nuolen pään kautta.

Voimat, kiihtyvyys ja kuljettu matka ovat myös vektoreita. Esimerkiksi sanomalla, että 10 metriä siirretty auto ei osoita, mihin suuntaan se liikkui. Liikkeen tarkkaan määrittelemiseksi on myös tarpeen määrittää liikkeen suunta ja suunta.

Vahvuus on myös vektori, koska jos vedät esineen itseäsi kohti, se tulee lähelle sinua, ja jos painat esineen poispäin. Niinpä voimalla on suunta ja tunne, ja siksi se on vektori.

esimerkki

Esimerkkeinä vektorin tarjoamista tiedoista meillä on seuraavat:

Etsi kultaista pussia

Oletetaan, että opettaja kertoo: "Kukkaruukku on luokkahuoneen ulkopuolella, löytää se, siirrä 20 metriä." Tämä lausunto kiinnostaa sinua varmasti, mutta ilmoituksessa ei ole riittävästi tietoa kultaisen laukun löytämiseksi.

Kultaisen pussin löytämiseksi tarvittavaa siirtymää ei ole kuvattu kokonaan. Toisaalta oletetaan, että opettajasi sanoo sinulle: "Klassinen pussi on luokkansa ulkopuolella, jotta se siirtyy luokan 20 oven keskipisteestä 30 ° pohjoiseen pohjoiseen"..

Tämä lausunto sisältää nyt täydellisen kuvauksen siirtymävektorista, jossa luetellaan suuruus (20 metriä) ja suunta (30 ° pohjoisesta länteen) suhteessa vertailu- tai lähtöasentoon (luokan oven keskipiste). ).

Vektorimääriä ei kuvata täysin, ellei sekä suuruusluokkaa että suuntaa ole esitetty.

Auton siirtymä

Kun siirrymme autoon, käytämme erilaisia ​​vektoreita. Nämä vektorit näkyvät aina, kun vaihdamme nopeutta.

Kun nopeudumme ylittämään toisen auton, lisäämme suunta- ja nopeusmuuttujia, jotka muodostavat uuden vektorin.

Toisaalta, kun halutaan vähentää nopeutta, vähennetään mainitut hidastusta vastaavat vektorit.

Toisessa mielessä, kun käännetään kääntämättä muuttamatta nopeutta, me muutamme sen liikkeen tunnetta, joka tulee auton liikkeestä.

Avaa ovi

Kun avaat oven, käytämme useita vektoreita. Ensinnäkin meidän on painettava tiettyyn suuntaan voima kääntämään oven nuppia, sitten meidän on työnnettävä ovi tiettyyn suuntaan ja painettava voima.

Nämä voiman ja suunnan arvot vastaavat vektoreita, joita käytetään oven avaamiseen. Oven sulkemisprosessi luo uuden vektorin, jossa sen arvo on negatiivinen suhteessa siihen, joka alun perin avattiin.

Siirrä laatikko

Kun haluamme työntää laatikkoa, joka on erittäin raskas, meidän on kohdistettava voimaa sivupinnalleen. Tämä voima on kohdistettava yhteen suuntaan, jotta laatikko voi liikkua.

Tällöin vektori tulee seuraamaan voiman ja suunnan yhdistelmää laatikon siirtämiseksi.

Jos voimaa ei käytetä laatikon työntämiseen, mutta sen nostamiseksi pystysuoraan, uusi vektori tulee näkyviin.

Tämä vektori koostuu pystysuorasta akselista, johon laatikko nostetaan, ja voimaa, jota käytetään sen nostamiseen.

Siirrä shakki

Kuten edellisessä esimerkissä, shakki siru voidaan siirtää pöydän pinnalle - tietyssä suunnassa ja soveltamalla tiettyä voimaa - muuttaa sen asemaa laudalla, muodostamalla vektori.

Se voidaan myös nostaa pois kartongista ja luoda uusi vektori pystysuoraan.

Paina painiketta

Botóa painetaan vain yhteen suuntaan, jonka antaa sama järjestelmä, joka sisältää painikkeen.

Painamalla tätä painiketta on tarpeen käyttää voimaa sormella. Tämän liikkeen harjoittamisesta seuraa vektori.

Pelaa biljardia

Biljardipallon lyöminen puulastalla johtaa välittömästi vektoriin, koska sillä on kaksi suuruusluokkaa: vahvuus ja suunta.

Biljardipalloon kohdistetaan voima, jotta se siirretään tiettyyn suuntaan. Pöydän biljardipallolla on aiemmin luotu tunne, joka riippuu pelaajan päätöksestä.

Leluauton vetäminen

Kun lapsi ottaa leluautonsa ja vetää sen köyden päälle tai yksinkertaisesti manipuloi sitä käsillään, hän luo lukuisia vektoreita.

Aina kun lapsi muuttaa nopeutta tai suuntaa, jolla auto liikkuu, se luo uuden vektorin.

Vektorin muuttujat, tässä tapauksessa, muodostuisivat energiasta, jota lapsi koskee autoon, ja suunnasta, jolla hän haluaa siirtää sitä..

Vektorien esitys

Vektorimääriä edustavat usein skaalatut vektorikaaviot.

Vektorikaaviot edustavat vektoria käyttämällä nuolta, joka on piirretty mittakaavassa tiettyyn suuntaan. Sopivalla vektorikaavion tulisi olla useita ominaisuuksia:

• Mittakaava on selkeästi lueteltu.
• Vektori-nuoli piirretään (nuolenpäällä) tietyssä suunnassa. Vektorinuolessa on pää ja hännän.
• Vektorin suuruus ja suunta on selvästi merkitty.

Vektorin osoite

Vektorit voidaan suunnata itään, länteen, etelään ja pohjoiseen. Mutta jotkin vektorit suunnataan koilliseen (45 ° kulmassa). Siksi on selvä tarve tunnistaa vektorin suunta, joka ei ole riippuvainen pohjoisesta, etelästä, itästä tai lännestä.

On olemassa erilaisia ​​yleissopimuksia minkä tahansa vektorin suunnan kuvaamiseksi, mutta vain kaksi niistä selitetään alla.

1 -Vektorin suunta ilmaistaan ​​usein vektorin pyörimiskulmana sen "hännän" ympärillä itään, länteen, pohjoiseen tai etelään.

Voidaan esimerkiksi sanoa, että vektorin osoite on 40 ° länteen pohjoispuolella (eli länteen suuntautuva vektori on kääntynyt 40 ° pohjoiseen suuntaan) tai että sen suunta on 65 ° astetta etelästä itään (mikä tarkoittaa, että etelään suuntautuva vektori on kääntynyt 65 ° itään).

2-Vektorin suunta ilmaistaan ​​usein kääntökulmana vektorin vastapäivään. Tätä yleissopimusta käyttäen vektori, jonka suunta on 30 °, on vektori, jota on kierretty 30 ° vastapäivään suhteessa itään.

160 °: n suuntainen vektori on vektori, jota on kierretty 160 ° vastapäivään suhteessa itään. Vektori, jonka suunta on 270 °, on vektori, jota on kierretty 270 ° vastapäivään suhteessa itään.

Vektorin suuruus

Skaalatun vektorikaavion vektorin suuruutta edustaa nuolen pituus. Nuoli piirretään tarkalla pituudella valitun asteikon mukaan.

Jos haluat esimerkiksi piirtää vektorin, jonka suuruus on 20 metriä, voit valita asteikolla 1 cm = 5 metriä ja piirtää nuolen, jonka pituus on 4 cm.

Samalla asteikolla (1 cm = 5 metriä) 15 metrin siirtymävektoria edustaa 3 cm pitkä vektori arrow.

Samalla tavalla 25 metrin siirtymävektoria edustaa 5 cm pitkä nuoli. Lopuksi, 18 metrin siirtymävektoria edustaa 3,6 cm pitkä nuoli.

Muut vektorien ominaisuudet

tasa-arvo: sanotaan, että kaksi vektoria ovat samanarvoisia, jos niillä on sama suuruus ja suunta. Vastaavasti ne ovat samanarvoisia, jos niiden koordinaatit ovat yhtä suuret.

oppositio: kaksi vektoria on päinvastainen, jos niillä on sama suuruus mutta vastakkainen suunta.

Paralelos: kaksi vektoria ovat samansuuntaisia, jos niillä on sama suunta, mutta ei välttämättä saman suuruinen, tai antiparalleja, jos niillä on vastakkainen suunta, mutta ei välttämättä sama suuruus.

Vektoriyksikkö: yksikkövektori on mikä tahansa vektori, jonka pituus on yksi.

Vektori nolla: nolla-vektori on vektori, jonka pituus on nolla. Toisin kuin mikään muu vektori, sillä on mielivaltainen tai määrittelemätön suunta, eikä sitä voida normalisoida

viittaukset

1. Jong IC, Rogers BG. Tekniikan mekaniikka: staattinen (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Matematiikan tietosanakirja (1993). MIT Press.
3. Ivanov AB. Matematiikan tietosanakirja (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Johdatus lineaariseen algebraan (1986). Springer.
6. Niku S. Engineering -periaatteet ei-insinöörien arkielämässä (2016). Morgan & Claypool.
7. Pedoe D. Geometria: kattava kurssi (1988). dover.