3 Lineaaristen yhtälöiden järjestelmät ja niiden ratkaiseminen

lineaariset yhtälöt ne ovat polynomiyhtälöitä, joissa on yksi tai useampia tuntemattomia. Tällöin tuntemattomat eivät ole korotettuja valtaan, eivätkä ne myöskään lisäänny keskenään (tässä tapauksessa sanotaan, että yhtälö on aste 1 tai ensimmäinen aste).

Yhtälö on matemaattinen tasa-arvo, jossa on yksi tai useampi tuntematon elementti, jota me kutsumme tuntemattomiksi tai tuntemattomiksi siinä tapauksessa, että on enemmän kuin yksi. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen selvittää tuntemattomien arvo.

Lineaarisella yhtälöllä on seuraava rakenne:

että₀· 1 + a₁· X₁+ että₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Missä₀, että₁, että₂,..., a_n ovat todellisia lukuja, joista tiedämme niiden arvon ja joita kutsutaan kertoimiksi, b on myös tunnettu reaaliluku, jota kutsutaan itsenäiseksi termiksi. Ja lopuksi ne ovat X₁, X_2,..., X_n jotka tunnetaan tuntemattomina. Nämä ovat muuttujia, joiden arvo on tuntematon.

Lineaaristen yhtälöiden järjestelmä on joukko lineaarisia yhtälöitä, joissa tuntemattomien arvot ovat samat kussakin yhtälössä.

Loogisesti, tapa ratkaista lineaaristen yhtälöiden järjestelmä on antaa arvoja tuntemattomille, jotta tasa-arvo voidaan todentaa. Toisin sanoen tuntemattomat on laskettava siten, että kaikki järjestelmän yhtälöt täyttyvät samanaikaisesti. Me edustamme lineaaristen yhtälöiden järjestelmää seuraavasti

että₀· 1 + a₁· X₁ + että₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

C₀· 1 + c₁· X₁ + C₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 missä a_0, että₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,C₀ ,C₁,..., c_n jne. meille todellisia lukuja ja tuntemattomia ratkaista ovat X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Jokainen lineaarinen yhtälö edustaa viivaa ja siksi N-lineaaristen yhtälöiden yhtälöiden järjestelmä edustaa N suoraa, piirrettynä avaruudessa.

Riippuen siitä, kuinka monta lineaarista yhtälöä on tuntemattomia, riviä, joka edustaa mainittua yhtälöä, esitetään eri ulottuvuudessa, eli yhtälössä, jossa on kaksi tuntematonta (esimerkiksi 2 · X₁ + X₂ = 0) edustaa linjaa kaksiulotteisessa tilassa, yhtälöä, jossa on kolme tuntematonta (esimerkiksi 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) olisi esitetty kolmiulotteisessa tilassa ja niin edelleen.

Kun ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä, X: n arvot₀,..., X_n ,X_{n + 1} sattuu olemaan viivojen väliset leikkauspisteet.

Ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän voimme saavuttaa erilaisia ​​päätelmiä. Saamamme tulosten tyypistä riippuen voimme erottaa toisistaan ​​kolme lineaarisen yhtälön järjestelmää:

1 - Määrittelemätön yhteensopivuus

Vaikka se voi kuulostaa vitsi, on mahdollista, että kun yritetään ratkaista yhtälöjärjestelmä, saavutamme tyylin 0 = 0 selvyyden..

Tällainen tilanne tapahtuu, kun yhtälöiden järjestelmälle on ääretön ratkaisu, ja tämä tapahtuu, kun yhtälöiden järjestelmässä ilmenevät yhtälöt edustavat samaa linjaa. Näemme sen graafisesti:

Yhtälöjärjestelmänä otamme:

Ottaen 2 yhtälöä, joissa on 2 tuntematonta ratkaisua, voimme edustaa viivoja kaksiulotteisessa tasossa

Kun näemme linjat samalla tavalla, siis ensimmäisen yhtälön kaikki pisteet yhtyvät toisen yhtälön pisteisiin, joten sillä on niin monta leikkauspistettä kuin pisteillä, joilla rivillä on, eli äärettömyyksiä.

2 - Yhteensopimaton

Kun luemme nimeä, voimme kuvitella, että seuraavalla yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisua.

Jos yritämme ratkaista esimerkiksi tämän yhtälöjärjestelmän

Graafisesti se olisi:

Jos kerromme kaikki toisen yhtälön ehdot, saadaan, että X + Y = 1 on 2 · X + 2 · Y = 2. Ja jos tämä viimeinen lauseke vähennetään ensimmäisestä yhtälöstä, saamme

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Tai mikä on sama

0 = 1

Kun olemme tässä tilanteessa, se tarkoittaa, että yhtälöiden järjestelmässä esitetyt linjat ovat rinnakkaisia, mikä tarkoittaa, että ne eivät ole määritelmän mukaan leikattuja eikä leikkauspisteitä ole. Kun järjestelmä esitetään tällä tavalla, sen sanotaan olevan epäjohdonmukainen riippumaton.

3 - Määritetty tuki

Lopuksi tulemme tapaukseen, jossa yhtälöjärjestelmämme on yksi ratkaisu, tapaus, jossa meillä on linjat, jotka leikkaavat ja muodostavat leikkauspisteen. Katsotaan esimerkki:

Sen ratkaisemiseksi voimme lisätä kaksi yhtälöä niin, että saamme

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Jos yksinkertaistamme, olemme lähteneet

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Mistä voimme helposti päätellä, että X = 2 ja korvaa tai X = 2 missä tahansa alkuperäisistä yhtälöistä saadaan Y = 3.

Visuaalisesti se olisi:

Lineaaristen yhtälöiden järjestelmien ratkaisumenetelmät

Kuten olemme nähneet edellisessä osassa, järjestelmissä, joissa on kaksi tuntematonta ja 2 yhtälöä, yksinkertaisten toimintojen, kuten lisäyksen, vähentämisen, kertomisen, jakamisen ja korvaamisen perusteella, voimme ratkaista ne muutamassa minuutissa. Mutta jos yritämme soveltaa tätä menetelmää järjestelmiin, joissa on enemmän yhtälöitä ja tuntemattomia, laskelmat ovat tylsiä ja voimme helposti tehdä virheitä.

Laskelmien yksinkertaistamiseksi on olemassa useita erottelutapoja, mutta epäilemättä kaikkein levinneimmät menetelmät ovat Cramerin sääntö ja Gauss-Jordanin poistaminen..

Cramerin menetelmä

Selittääkseen, miten tätä menetelmää käytetään, on tärkeää tietää, mikä on sen matriisi ja osaa löytää sen determinantti, tehdään sulkeina näiden kahden käsitteen määrittelemiseksi.

matriisi se on vain numero tai algebrallinen symboli, jotka on sijoitettu vaaka- ja pystysuoriin viivoihin ja jotka on järjestetty suorakulmion muodossa. Teemassamme käytämme matriisia yksinkertaisempana keinona ilmaista yhtälöjärjestelmämme.

Katsotaan esimerkki:

Se on lineaaristen yhtälöiden järjestelmä

Tämä yksinkertainen yhtälöjärjestelmä, jonka voimme tiivistää, on kahden 2 × 2-matriisin toiminta, joka johtaa 2 × 1 -matriisiin.

Ensimmäinen matriisi vastaa kaikkia kertoimia, toinen matriisi on ratkaisematon tuntematon ja tasa-arvon jälkeen sijoitettu matriisi tunnistetaan yhtälöiden itsenäisin ehdoin

määräävä tekijä on operaatio, jota sovelletaan matriisiin, jonka tulos on todellinen luku.

Jos kyseessä on matriisi, jonka olemme löytäneet edellisessä esimerkissä, sen determinantti olisi:

Kun matriisin ja determinantin käsitteet on määritelty, voimme selittää, mitä Cramerin menetelmä koostuu.

Tällä menetelmällä voimme helposti ratkaista lineaaristen yhtälöiden järjestelmän, kunhan järjestelmä ei ylitä kolmea yhtälöä, joissa on kolme tuntematonta, koska matriisin determinanttien laskeminen on erittäin vaikeaa 4 × 4 tai korkeammille matriiseille. Jos järjestelmässä on enemmän kuin kolme lineaarista yhtälöä, suositellaan Gauss-Jordanin poistamista.

Edellisen esimerkin jatkuessa Cramerin avulla meidän on yksinkertaisesti laskettava kaksi determinanttia ja sen avulla löydämme kahden tuntemattoman arvon..

Meillä on järjestelmä:

Ja meillä on matriisien edustama järjestelmä:

X: n arvo löytyy:

Yksinkertaisesti laskettaessa jakajan nimittäjässä sijaitsevaa determinanttia olemme korvaaneet ensimmäisen kunnan itsenäisten termien matriisille. Ja divisioonan nimittäjässä meillä on alkuperäisen matriisi determinantti.

Suorita samat laskelmat löytääkseen Y: n saamamme:

Gauss-Jordanin poistaminen

Me määrittelemme laajennettu matriisi matriisiin, joka johtuu yhtälöiden järjestelmästä, jossa lisäämme itsenäiset termit matriisin lopussa.

Menetelmä, jolla Gauss-Jordan poistetaan, koostuu matriisin rivien välisten toimintojen avulla muuttamaan laajennetun matriisiemme paljon yksinkertaisemmaksi matriisiksi, jossa minulla on nollia kaikissa kentissä paitsi diagonaalissa, jossa minun on hankittava joitakin. Seuraavasti:

Jos X ja Y olisivat todellisia lukuja, jotka vastaavat tuntemattomia.

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä poistamalla Gauss-Jordan:

Olemme jo onnistuneet saamaan nolla matriisin vasemmassa alareunassa, seuraava vaihe on saada 0 oikeassa yläosassa..

Olemme saavuttaneet 0: n matriisin vasemmassa yläkulmassa, nyt meidän on vain muutettava diagonaali niihin ja olemme jo ratkaisseet järjestelmämme Gauss-Jordanilta.

Siksi päädymme siihen, että:

viittaukset

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Lineaaristen yhtälöiden järjestelmät (ilman päivämäärää). Palautettu uco.es: stä.
4. Lineaaristen yhtälöiden järjestelmät. Luku 7. (päivämäärä). Haettu osoitteesta sauce.pntic.mec.es.
5. Lineaarinen algebra ja geometria (2010/2011). Lineaaristen yhtälöiden järjestelmät. Luku 1. Algebran laitos. Sevillan yliopisto. Espanjassa. Palautettu algebra.us.es-tiedostosta.