Tekniset laskentatekniikat, sovellukset ja esimerkit



laskentatekniikoita ovat joukko todennäköisyysmenetelmiä, joilla voidaan laskea järjestelyjen lukumäärä joukossa tai useissa esineiden sarjoissa. Näitä käytetään, kun tilejä tehdään manuaalisesti monimutkaisia, koska kohteiden ja / tai muuttujien määrä on suuri.

Esimerkiksi ratkaisu tähän ongelmaan on hyvin yksinkertainen: kuvittele, että pomosi pyytää sinua laskemaan viimeiset tuotteet, jotka ovat saapuneet viimeisen tunnin aikana. Tässä tapauksessa voit mennä ja laskea tuotteet yksitellen.

Kuvittele kuitenkin, että ongelma on tämä: pomosi pyytää sinua laskemaan, kuinka monta 5 saman tyyppistä tuotetta voi muodostua viimeiseen tuntiin saapuneiden kanssa. Tässä tapauksessa laskenta on monimutkainen. Tällaisia ​​tilanteita varten käytetään ns. Laskentatekniikoita.  

Nämä tekniikat ovat useita, mutta tärkeimmät on jaettu kahteen perusperiaatteeseen, jotka ovat multiplikaattori ja lisäaine; permutaatiot ja yhdistelmät.

indeksi

  • 1 moninkertainen periaate
    • 1.1 Sovellukset
    • 1.2 Esimerkki
  • 2 Lisäperiaate 
    • 2.1 Sovellukset
    • 2.2 Esimerkki
  • 3 Permutaatiot
    • 3.1 Sovellukset
    • 3.2 Esimerkki
  • 4 Yhdistelmät
    • 4.1 Sovellukset
    • 4.2 Esimerkki
  • 5 Viitteet 

Moninkertainen periaate

sovellukset

Moninkertaistava periaate yhdessä lisäaineen kanssa on perusedellytys laskentatekniikoiden toiminnan ymmärtämiselle. Jos kyseessä on kerroin, se koostuu seuraavista:

Kuvittele toimintaa, johon liittyy tietty määrä vaiheita (kokonaismäärä on merkitty "r"), jossa ensimmäinen vaihe voidaan tehdä N1-muodoista, N2: n toisesta vaiheesta ja Nr-muotojen vaiheesta "r". Tällöin toiminta voidaan suorittaa tämän toimenpiteen tuloksena olevien lomakkeiden lukumäärästä: N1 x N2 x ... .x Nr-lomakkeet

Siksi tätä periaatetta kutsutaan moninkertaiseksi, ja se merkitsee sitä, että jokainen vaihe, joka tarvitaan toiminnan toteuttamiseksi, on tehtävä peräkkäin. 

esimerkki

Kuvitellaanko henkilöä, joka haluaa rakentaa koulun. Tätä varten on katsottava, että rakennuksen pohja voidaan rakentaa kahdella eri tavalla: sementillä tai betonilla. Seinien osalta ne voidaan valmistaa adobe, sementti tai tiili.

Katon osalta se voidaan rakentaa sementistä tai galvanoidusta levystä. Lopuksi lopullinen maalaus voidaan tehdä vain yhdellä tavalla. Kysymys on seuraavasta: Kuinka monta tapaa koulun on rakennettava??

Ensinnäkin harkitsemme vaiheiden lukumäärää, joka olisi perusta, seinät, katto ja maalaus. Yhteensä 4 vaihetta, joten r = 4.

Seuraavassa luetellaan N:

N1 = keinot rakentaa pohja = 2

N2 = tapoja rakentaa seinät = 3

N3 = keinot tehdä katto = 2

N4 = tapoja tehdä maali = 1

Siksi mahdollisten lomakkeiden määrä laskettaisiin edellä kuvatulla kaavalla:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 tapaa suorittaa koulu.

Lisäperiaatteen periaate

sovellukset

Tämä periaate on hyvin yksinkertainen, ja siinä tapauksessa, että olemassa on useita vaihtoehtoja saman toiminnan suorittamiseksi, mahdolliset keinot muodostuvat siitä, kuinka monta eri tapaa tehdä kaikki vaihtoehdot.

Toisin sanoen, jos haluamme harjoittaa toimintaa kolmella vaihtoehdolla, jossa ensimmäinen vaihtoehto voidaan tehdä M-muodoissa, toinen N-muodoissa ja viimeinen W-muodoissa, aktiviteetti voidaan tehdä seuraavista: M + N + ... + W -muodot.

esimerkki

Kuvittele tällä kertaa henkilö, joka haluaa ostaa tennismailan. Tätä varten sillä on kolme tuotemerkkiä: Wilson, Babolat tai Head.

Kun hän lähtee myymälään, hän näkee, että Wilsonin maila voidaan ostaa kahdella eri koolla, L2 tai L3 neljällä eri mallilla, ja se voidaan kiinnittää tai ilman merkkijonoa.

Babolat-mailalla on taas kolme kahvaa (L1, L2 ja L3), kaksi eri mallia ja se voidaan myös kiinnittää tai ilman merkkijonoa.

Head-kilpi on toisaalta vain yksi kahva, L2, kahdessa eri mallissa ja vain ilman merkkijonoa. Kysymys kuuluu: Kuinka monella tavalla tämän henkilön on ostettava maila??

M = Wilson-mailan valitsemismahdollisuuksien määrä

N = Babolat-mailan valitsemismahdollisuuksien määrä

W = Head Racket -toiminnon valitseminen

Teemme kertoimen periaatteen:

M = 2 x 4 x 2 = 16 muotoa

N = 3 x 2 x 2 = 12 muotoa

W = 1 x 2 x 1 = 2 muotoa

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 tapaa valita maila.

Jos haluat tietää, milloin multiplikaatioperiaatetta ja lisäainetta käytetään, sinun on vain tarkasteltava, onko toiminnalla useita vaiheita, ja jos on olemassa useita vaihtoehtoja, lisäaine.

permutaatiot

sovellukset

Jotta voit ymmärtää, mitä permutaatio on, on tärkeää selittää, mitä yhdistelmä on, jotta ne voidaan erottaa toisistaan ​​ja tietää, milloin niitä käytetään.

Yhdistelmä olisi sellaisten elementtien järjestely, joissa emme ole kiinnostuneita siitä, mistä kukin niistä on.

Toisaalta permutaatio olisi sellaisten elementtien järjestely, joissa olemme kiinnostuneita siitä, että kukin heistä asettuu.

Anna esimerkki ymmärtääksemme paremmin eron.

esimerkki

Kuvittele luokan 35 opiskelijaa ja seuraavissa tilanteissa:

  1. Opettaja haluaa, että kolme hänen oppilaansa auttavat häntä pitämään luokan puhtaana tai toimittamaan materiaalia muille opiskelijoille, kun hän tarvitsee sitä.
  2. Opettaja haluaa nimittää luokanedustajat (presidentti, avustaja ja rahoittaja).

Ratkaisu olisi seuraava:

  1. Kuvittele, että äänestämällä Juan, María ja Lucía valitaan luokan puhdistamiseen tai materiaalien toimittamiseen. On selvää, että 35 mahdollisen opiskelijan joukossa olisi voitu muodostaa muita kolmen hengen ryhmiä.

Meidän on kysyttävä itseltämme seuraavaa: onko tärkeätä järjestys tai kanta, joka jokaisella opiskelijalla on niiden valinnassa??

Jos ajattelemme sitä, näemme, että se ei todellakaan ole tärkeää, koska ryhmä huolehtii molemmista tehtävistä tasapuolisesti. Tässä tapauksessa se on yhdistelmä, koska emme ole kiinnostuneita elementtien sijainnista.

  1. Kuvittele nyt, että Johannes valitaan presidentiksi, Maria avustajaksi ja Lucia taloudelliseksi.

Olisiko tässä tapauksessa kysymys? Vastaus on kyllä, koska jos muutamme elementtejä, tulos muuttuu. Jos siis sen sijaan, että asetat Juanin presidentiksi, asetamme hänet avustajaksi, ja Maria presidentiksi, lopputulos muuttuu. Tässä tapauksessa se on permutaatio.

Kun ero on ymmärretty, saamme permutaatioiden ja yhdistelmien kaavat. Ensin on kuitenkin määriteltävä termi "n!" (In faktororial), koska sitä käytetään eri kaavoissa.

n! = tuotteeseen 1 - n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Käyttämällä sitä reaaliluvuilla:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Permutaatioiden kaava olisi seuraava:

nPr = n! / (n-r)!

Sen avulla voimme selvittää järjestelyt, joissa järjestys on tärkeä ja missä n-elementit ovat erilaisia.

yhdistelmät

sovellukset

Kuten olemme aiemmin huomauttaneet, yhdistelmät ovat järjestelyjä, joissa emme välitä elementtien asemasta.

Sen kaava on seuraava:

nCr = n! / (n-r)! r!

esimerkki

Jos on 14 opiskelijaa, jotka haluavat vapaaehtoisesti puhdistaa luokkahuoneen, kuinka monta puhdistusryhmää kukin ryhmä voi muodostaa 5 henkilöllä??

Ratkaisu olisi siis seuraava:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 ryhmää

viittaukset

  1. Jeffrey, R.C., Todennäköisyys ja tuomion taide, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, "Johdatus todennäköisyys teoriaan ja sen sovelluksiin", (Vol 1), 3th Ed, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Loogiset perusteet ja subjektiivisen todennäköisyyden mittaus". Psykologinen laki.
  4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Johdatus matemaattiseen tilastoon (6. painos). Ylä-satula: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) Pohdinnan tiede: todisteet ja todennäköisyys ennen Pascalia,Johns Hopkinsin yliopiston lehdistö.