Millaisia ​​integraaleja on olemassa?



tyyppisiä integraaleja Laskennassa löydetyt tiedot ovat seuraavat: Määrittämättömät integraalit ja määritetyt integraalit. Vaikka määritellyillä integraaleilla on paljon enemmän sovelluksia kuin määrittämättömät integraalit, on ensin opittava ratkaisemaan määrittelemättömät integraalit.

Yksi kiinnostavimmista sovelluksista tietyissä integraaleissa on vallankumouksen kiinteän määrän laskeminen.

Molemmilla integraalityypeillä on samat lineaarisuusominaisuudet ja myös integrointitekniikat eivät ole riippuvaisia ​​integraalin tyypistä.

Huolimatta siitä, että se on hyvin samanlainen, on tärkein ero; ensimmäisessä integraalin tyypissä tulos on toiminto (joka ei ole erityinen), kun taas toisessa tyypissä tulos on luku.

Kaksi perustyyppiä integraaleista

Integraalien maailma on hyvin laaja, mutta sen sisällä voimme erottaa kaksi erilaista integraalityyppiä, joilla on suuri sovellettavuus jokapäiväisessä elämässä.

1 - Määrittämättömät integraalit

Jos F '(x) = f (x) kaikille x verkkotunnus f sanomme, että F (x) on anti-johdannainen, primitiivinen tai kiinteä f (x).

Lisäksi voidaan todeta, että (F (x) + C) '= F (x) = f (x), joka merkitsee sitä, että integraali funktio ei ole ainutlaatuinen, joka antaa eri arvoja vakion C saavat eri te integraalifunktio.

Näin ollen F (x) + C kutsutaan määrittelemätön Integral f (x) ja C on nimeltään integrointivakio ja kirjoittaa seuraavasti

Kuten näemme, funktion f (x) määrittelemätön integraali on funktioiden perhe.

Esimerkiksi, jos halutaan laskea toistaiseksi kiinteä funktion f (x) = 3x², täytyy ensin löytää anti-johdannainen f (x).

On helppo huomata, että F (x) = x³ on antivivaattori, koska F '(x) = 3x². Siksi voidaan päätellä, että

∫f (x) dx = x3x2dx = x³ + C.

2 - Määritetyt integraalit

Olkoon y = f (x) todellinen funktio, jatkuva suljetussa aikavälissä [a, b] ja anna F (x) olla f (x): n antivivaattori. Sitä kutsutaan f (x): n kiinteäksi integraaliksi rajojen a ja b välillä numeroon F (b) -F (a), ja se on merkitty seuraavasti

Edellä esitetty kaava tunnetaan paremmin nimellä "Laskelman perustekijä". Täällä "a" kutsutaan alarajaksi ja "b" on yläraja. Kuten näette, funktion määritelty integraali on numero.

Tällöin, jos lasketaan f (x) = 3x² määrätty integraali aikavälillä [0.3], saadaan numero.

Tämän määrän määrittämiseksi valitsemme F (x) = x³ kuin f (x) = 3x². Sitten laskemme F (3) -F (0), joka antaa meille tuloksen 27-0 = 27. Yhteenvetona voidaan todeta, että f (x): n lopullinen integraali aikavälillä [0.3] on 27.

Voidaan todeta, että jos G (x) = x³ + 3, niin G (x) on valittu on anti-johdannainen f (x) eri F (x), mutta tämä ei vaikuta tulokseen kuin G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Tästä syystä selvä integraaleja integrointivakioon ei näy.

Eräs käyttökelpoisimmista sovelluksista, joita tämäntyyppinen integraali on, on se, että sen avulla voidaan laskea litteän kuvan (vallankumouksellisen kiinteän) pinta-ala (tilavuus), luoda sopivat toiminnot ja integraatiorajat (ja kiertoakseli).

Sisällä selvä integraaleja voimme löytää useita laajennuksia tämän esimerkin viivaintegraalit, pintaintegraali, väärä integraalien useita integraalit muun muassa kaikki hyvin hyödyllisiä sovelluksia tieteen ja tekniikan.

viittaukset

  1. Casteleiro, J. M. (2012). Onko helppo integroida? Itseopetettu käsikirja. Madrid: ESIC.
  2. Casteleiro, J. M., ja Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Kattava laskenta (Illustrated ed.). Madrid: ESIC Toimituksellinen.
  3. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematiikka. Prentice Hall PTR.
  4. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus-matematiikka: ongelmanratkaisutapa (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
  5. Kishan, H. (2005). Integral Calculus. Atlantin kustantajat ja jakelijat.
  6. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). laskelma (Yhdeksäs ed.). Prentice Hall.