Moninkertaiset periaatteiden laskentatekniikat ja esimerkit



moninkertainen periaate on tekniikka, jota käytetään ratkaisemaan laskentaongelmia ratkaisun löytämiseksi ilman, että on tarpeen luetella sen elementtejä. Se tunnetaan myös yhdistelmäanalyysin perusperiaatteena; perustuu peräkkäiseen kertomiseen sen määrittämiseksi, miten tapahtuma voi tapahtua.

Tämä periaate vahvistaa, että jos päätös tehdään (d1) voidaan ottaa huomioon n tavalla ja toinen päätös (d.)2) voidaan ottaa mukaan m: llä, päätöksentekomenettelyjen kokonaismäärä1 ja d2 on yhtä suuri kuin kerrotaan n: llä * m. Periaatteen mukaan kukin päätös tehdään peräkkäin: tapojen lukumäärä = N1 * N2... * Nx tapoja.

indeksi

  • 1 Esimerkkejä
    • 1.1 Esimerkki 1
    • 1.2 Esimerkki 2
  • 2 Laskentatekniikat
    • 2.1 Lisäysperiaate
    • 2.2 Permutaation periaate
    • 2.3 Yhdistämisen periaate
  • 3 Harjoitukset ratkaistu
    • 3.1 Harjoitus 1
    • 3.2 Harjoitus 2
  • 4 Viitteet

esimerkit

Esimerkki 1

Paula aikoo mennä elokuviin ystäviensä kanssa ja valita vaatteet, joita hän käyttää, erotan 3 puseroa ja 2 hameen. Kuinka monta tapaa Paula voi pukeutua??

ratkaisu

Tässä tapauksessa Paula tekee kaksi päätöstä:

d1 = Valitse 3 puserosta = n

d2 = Valitse 2 hameesta = m

Näin Paula on n * m päätökset tehdä tai erilaisia ​​tapoja pukeutua.

n * m = 3* 2 = 6 päätöstä.

Moninkertaistava periaate tulee puutaulukon tekniikasta, joka on kaavio, joka yhdistää kaikki mahdolliset tulokset siten, että kukin voi esiintyä rajallisesti useita kertoja.

Esimerkki 2

Mario oli hyvin janoinen, joten hän meni leipomoon ostamaan mehua. Luis vastaa hänelle ja kertoo hänelle, että hänellä on kaksi kokoa: iso ja pieni; ja neljä makua: omena, appelsiini, sitruuna ja rypäle. Kuinka monta tapaa Mario voi valita mehun?

ratkaisu

Kaaviossa voidaan havaita, että Marioilla on 8 erilaista tapaa valita mehu ja että kuten moninkertaistamisperiaatteessa, tämä tulos saadaan kertomalla n.*m. Ainoa ero on se, että tämän kaavion avulla tiedät, miten Mario valitsee mehun.

Toisaalta, kun mahdollisten tulosten määrä on hyvin suuri, on käytännöllisempää käyttää moninkertaistavaa periaatetta.

Laskentatekniikat

Laskentatekniikat ovat menetelmiä, joita käytetään suoran määrän laskemiseen, ja näin ollen tiedetään, kuinka monta mahdollista järjestelyä tietyn joukon elementeillä voi olla. Nämä tekniikat perustuvat useisiin periaatteisiin:

Lisäysperiaate

Tämä periaate sanoo, että jos kahta tapahtumaa m ja n ei voi esiintyä samaan aikaan, ensimmäisen tai toisen tapahtuman tapahtumien lukumäärä on m + n: n summa:

Lomakkeiden lukumäärä = m + n ... + x eri muodot.

esimerkki

Antonio haluaa ottaa matkan, mutta ei päättää, mihin kohteeseen; Etelä-Matkailuvirastossa he tarjoavat sinulle myynnin New Yorkiin tai Las Vegasiin, kun taas Itä-matkailuvirasto suosittelee matkustamaan Ranskaan, Italiaan tai Espanjaan. Kuinka monta eri vaihtoehtoa Antonio tarjoaa?

ratkaisu

Etelä-Matkailuviraston kanssa Antonioilla on kaksi vaihtoehtoa (New York tai Las Vegas), kun taas Itä-matkailuvirastossa on 3 vaihtoehtoa (Ranska, Italia tai Espanja). Eri vaihtoehtojen määrä on:

Vaihtoehtojen lukumäärä = m + n = 2 + 3 = 5 vaihtoehtoa.

Permutaation periaate

Kyse on nimenomaan kaikkien tai joidenkin joukon muodostavien elementtien tilaamisesta kaikkien mahdollisten järjestelyjen laskemisen helpottamiseksi..

N eri elementtien permutaatioiden lukumäärä, jotka otetaan kaikki kerralla, esitetään seuraavasti:

nPn = n!

esimerkki

Neljä kaveria haluaa ottaa kuvan ja haluaa tietää, kuinka monta eri muotoa voi tilata.

ratkaisu

Haluat tietää kaiken mahdollisen tavan, jolla 4 henkilöä voidaan sijoittaa ottamaan kuva. Joten sinun on:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 eri tapaa.

Jos n käytettävissä olevien elementtien permutaatioiden lukumäärä on otettu r-elementtien muodostamasta sarjasta, se esitetään seuraavasti:

nPr = n! ÷ (n - r)!

esimerkki

Luokkahuoneessa on 10 paikkaa. Jos luokkaan osallistuu 4 opiskelijaa, kuinka monella eri tavalla opiskelijat voivat ottaa paikkoja?

ratkaisu

Tuolien joukon kokonaismäärä on 10, ja näistä vain 4 käytetään. Määritettyä kaavaa käytetään määrittämään permutaatioiden lukumäärä:

nPR = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 tapaa täyttää viestit.

On tapauksia, joissa jotkut joukon käytettävissä olevista elementeistä toistetaan (ne ovat samat). Voit laskea järjestelyjen lukumäärän, jossa kaikki elementit otetaan kerralla käyttöön seuraavasti:

nPR = n! ÷ n1!* n2!... nR!

esimerkki

Kuinka monta eri sanaa neljästä kirjaimesta voidaan muodostaa sanasta "susi"?

ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on 4 elementtiä (kirjaimia), joista kaksi on täsmälleen sama. Käytettäessä annettua kaavaa tiedämme, kuinka monta eri sanaa ovat:

nPR = n! ÷ n1!* n2!... nR!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 eri sanaa.

Yhdistämisen periaate

Kyse on kaikkien tai joidenkin joukon muodostavien elementtien kiinnittämisestä ilman tiettyä järjestystä. Esimerkiksi, jos sinulla on XYZ-ryhmä, se on identtinen mm. ZXY-, YZX-, ​​ZYX-ryhmien kanssa; tämä johtuu siitä, että huolimatta siitä, että ne eivät ole samassa järjestyksessä, kunkin järjestelyn elementit ovat samat.

Kun joukon (n) joitakin elementtejä (r) otetaan, yhdistelmän periaate annetaan seuraavalla kaavalla:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

esimerkki

Myymälässä myydään 5 erilaista suklaata. Kuinka monta eri tapaa voit valita 4 suklaata?

ratkaisu

Tässä tapauksessa sinun täytyy valita 4 suklaata viidestä myymälätyypistä. Järjestys, jossa ne valitaan, ei ole merkitystä, ja lisäksi suklaan tyyppi voidaan valita useammin kuin kaksi kertaa. Kun kaavaa käytetään, sinun on:

nCR = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 eri tapaa valita 4 suklaata.

Kun kaikki ryhmän (n) elementit (r) otetaan, yhdistelmän periaate annetaan seuraavalla kaavalla:

nCn = n!

Ratkaistut harjoitukset

Harjoitus 1

Sinulla on baseball-tiimi, jossa on 14 jäsentä. Kuinka monella tavalla voit määrittää 5 paikkaa paikalle?

ratkaisu

Sarja koostuu 14 elementistä ja haluat määrittää 5 erityistä paikkaa; se on, että järjestys asiat. Permutaatiokaavaa käytetään, kun n käytettävissä olevat elementit otetaan r: n muodostamasta joukosta.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Jos n = 14 ja r = 5. Se on korvattu kaavalla:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 tapaa määrittää 9 pelipaikkaa.

Harjoitus 2

Jos 9-jäseninen perhe menee matkalle ja ostaa lippunsa peräkkäisillä paikoilla, kuinka monta eri tapaa he voivat istua?

ratkaisu

Noin 9 osaa vie 9 paikkaa peräkkäin.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 erilaista istumismuotoa.

viittaukset

  1. Hopkins, B. (2009). Resurssit diskreettisen matematiikan opettamiseen: luokkahuoneen projektit, historiamoduulit ja artikkelit.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskreetti matematiikka Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Lopullinen ja diskreetti matemaattisten ongelmien ratkaisija. Tutkimus- ja koulutusyhdistyksen toimittajat.
  4. Padró, F. C. (2001). Diskreetti matematiikka Politec. Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Sovellettavien tieteiden matematiikka. Reverte.