Homothety-ominaisuudet, tyypit ja esimerkit

homotecia on geometrinen muutos tasossa, jossa etäisyydet kerrotaan yhteisellä tekijällä kiinteästä pisteestä, jota kutsutaan keskukseksi (O). Tällä tavoin kukin piste P vastaa muunnoksen toista P '-tuotetta, ja nämä ovat linjassa O: n kanssa.

Sitten homothety on kahden geometrisen kuvan välinen yhteys, jossa muunnettuja pisteitä kutsutaan homoteettisiksi, ja nämä ovat linjassa kiinteän pisteen kanssa ja segmenttien kanssa rinnakkain.

indeksi

• 1 Homotecia
• 2 Ominaisuudet
• 3 tyyppiä
  • 3.1 Suora homothety
  • 3.2 Käänteinen homothety
• 4 Koostumus
• 5 Esimerkkejä
  • 5.1 Ensimmäinen esimerkki
  • 5.2 Toinen esimerkki
• 6 Viitteet

homotecia

Homothety on muunnos, jolla ei ole yhteneväistä kuvaa, koska yhdestä tai useammasta luvusta, jotka ovat suurempia tai pienempiä kuin alkuperäinen luku, saadaan luku; toisin sanoen, että homothety muuntaa monikulmion toiseen samankaltaiseen.

Jotta homotyyppi täytettäisiin, niiden on vastattava pisteestä pisteeseen ja suoraan suoraan, niin että homologisten pisteiden parit ovat linjassa kolmannen kiinteän pisteen kanssa, joka on homothetyksen keskipiste..

Samoin niiden yhdistävien linjojen parien on oltava rinnakkaisia. Tällaisten segmenttien välinen suhde on vakio, jota kutsutaan homoteettisuhteeksi (k); siten, että homothety voidaan määritellä seuraavasti:

Tämäntyyppisen muutoksen tekeminen aloitetaan valitsemalla mielivaltainen piste, joka on homotetyksen keskipiste.

Tästä lähtien linjan segmentit piirretään jokaiselle muunnettavan kuvion kärjelle. Mittakaava, jossa uuden kuvan kopiointi tehdään, annetaan homotyypin (k) perusteella..

ominaisuudet

Yksi homothetyn pääominaisuuksista on, että homoteettisyyden (k) vuoksi kaikki homoteettiset luvut ovat samanlaisia. Muita erinomaisia ​​ominaisuuksia ovat seuraavat:

- Homothety-keskuksen (O) keskipiste on ainoa kaksoispiste ja se muuttuu itsestään; se ei siis vaihtele.

- Keskuksen läpi kulkevat linjat muuttavat itseään (ne ovat kaksinkertaisia), mutta säveltävät pisteet eivät ole kaksinkertaisia.

- Suorat, jotka eivät läpäise keskusta, muunnetaan rinnakkain; tällä tavoin homothetyn kulmat pysyvät samoina.

- Segmentin kuva, jonka keskiosa on homotyyppi ja suhde k, on tämän kanssa rinnakkainen segmentti, jonka pituus on k-kertainen. Esimerkiksi, kuten seuraavassa kuvassa nähdään, homoteettinen segmentti AB johtaa toiseen segmenttiin A'B ', niin että AB on A'B': n suuntainen ja k on:

- Homoteettiset kulmat ovat yhteneväisiä; toisin sanoen heillä on sama toimenpide. Siten kulman kuva on kulma, jolla on sama amplitudi.

Toisaalta homothety vaihtelee riippuen sen suhteesta (k), ja seuraavat tapaukset voivat esiintyä:

- Jos vakio k = 1, kaikki pisteet ovat kiinteitä, koska ne muuttuvat itse. Täten homoteettinen luku vastaa alkuperäistä ja muunnosta kutsutaan identiteettitoiminnoksi.

- Jos k ≠ 1, ainoa kiinteä kohta on homotyypin (O) keskipiste..

- Jos k = -1, homothetystä tulee keskus symmetria (C); ts. pyöriminen C: n ympäri tapahtuu 180 ° kulmassa^tai.

- Jos k> 1, muunnetun kuvan koko on suurempi kuin alkuperäisen koko.

- Kyllä 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Kyllä -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Jos k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

tyyppi

Homotyyppi voidaan myös luokitella kahteen tyyppiin riippuen sen suhde (k):

Suora homothety

Se tapahtuu, jos vakio k> 0; toisin sanoen homoteettiset pisteet ovat samalla puolella keskusta kohti:

Suhteellisuuden tai suorien homoteettisten lukujen samankaltaisuuden suhde on aina positiivinen.

Käänteinen homoteettinen

Se tapahtuu, jos vakio k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Suhteellisuusaste tai samankaltaisuuden suhde homoteettisten käänteisten lukujen välillä on aina negatiivinen.

koostumus

Kun useita liikkeitä tehdään peräkkäin, kunnes saadaan luku, joka on sama kuin alkuperäinen, tapahtuu liikkeiden koostumus. Useiden liikkeiden koostumus on myös liike.

Kahden homoteksian välinen koostumus johtaa uuteen homotekiaan; toisin sanoen meillä on homoteettinen tuote, jossa keskus kohdennetaan kahden alkuperäisen muunnoksen keskipisteeseen, ja suhde (k) on kahden syyn tulos.

Näin ollen kahden H-kodin koostumuksessa₁(O₁, K₁) ja H₂(O₂, K₂) kertomalla syyt: k₁ x k₂ = 1 johtaa homotyyppiseen suhteeseen k₃ = K₁ x k₂. Tämän uuden homotyypin keskus (O₃) sijaitsee O-suorassa₁ O₂.

Homothety vastaa tasaista ja peruuttamatonta muutosta; jos käytetään kahta homotyyppiä, joilla on sama keskipiste ja suhde, mutta jolla on erilainen merkki, saadaan alkuperäinen luku.

esimerkit

Ensimmäinen esimerkki

Levitä homothety tiettyyn polygoniin (O), joka sijaitsee 5 cm päässä pisteestä A ja jonka suhde on k = 0,7.

ratkaisu

Jokainen piste on valittu homotetyksen keskipisteeksi, ja tästä säteestä piirretään kuvan huipput:

Etäisyys keskustasta (O) pisteeseen A on OA = 5; Tällä voit määrittää yhden homoteettisen pisteen (OA) etäisyyden tietäen myös, että k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Prosessi voidaan tehdä jokaiselle huippupisteelle, tai voit myös piirtää homoteettisen monikulmion muistaa, että kahdella polygonilla on rinnakkaiset sivut:

Lopuksi muutos näyttää tältä:

Toinen esimerkki

Levitä homothety tiettyyn polygoniin (O), joka sijaitsee 8,5 cm: n päässä pisteestä C ja jonka y-suhde k = -2.

ratkaisu

Etäisyys keskustasta (O) pisteeseen C on OC = 8,5; Näillä tiedoilla on mahdollista määrittää yhden homoteettisen pisteen (OC ') etäisyys, tietäen myös, että k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Piirrettyään muunnetun monikulmion pisteiden segmentit on, että alkupisteet ja niiden homoteettit sijaitsevat keskipisteeseen nähden vastakkaisiin päihin:

viittaukset

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tekninen piirustus: toimintojen muistikirja.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affiniteetti, homologia ja homothety.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineaarinen algebra ja projektiivinen geometria. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Yleinen matematiikka, todennäköisyydet ja tilastot.
5. Meserve, B. E. (2014). Geometrian perusajatukset. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Algebran esittely. Reverte.