Faktorointimenetelmät ja esimerkit

tekijöihinjakoalgoritmi on menetelmä, jonka avulla polynomi ilmaistaan ​​tekijöiden kertomisena, joka voi olla numeroita, kirjaimia tai molempia. Voit yhdistellä termeille yhteiset tekijät ryhmiteltyinä ja näin polynomi hajoaa useiksi polynomeiksi.

Näin ollen, kun tekijät moninkertaistuvat, tulos on alkuperäinen polynomi. Faktorointi on erittäin hyödyllinen menetelmä, kun sinulla on algebrallisia lausekkeita, koska se voidaan muuntaa useiden yksinkertaisten termien kertomiseksi; Esimerkiksi: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

On tapauksia, joissa polynomia ei voida ottaa huomioon, koska sen ehtojen välillä ei ole yhteistä tekijää; näin ollen nämä algebralliset lausekkeet ovat jaettavissa vain keskenään ja 1: llä. Esimerkiksi: x + y + z.

Algebrallisessa ilmaisussa yhteinen tekijä on sen muodostavien termien suurin yhteinen jakaja.

indeksi

• 1 Faktorointimenetelmät
  • 1.1 Faktorointi yhteisen tekijän mukaan
  • 1.2 Esimerkki 1
  • 1.3 Esimerkki 2
  • 1.4 Faktorointi ryhmittymällä
  • 1.5 Esimerkki 1
  • 1.6 Faktointi tarkastuksella
  • 1.7 Esimerkki 1
  • 1.8 Esimerkki 2
  • 1.9 Faktorointi merkittävillä tuotteilla
  • 1.10 Esimerkki 1
  • 1.11 Esimerkki 2
  • 1.12 Esimerkki 3
  • 1.13 Faktointi Ruffinin säännöllä
  • 1.14 Esimerkki 1
• 2 Viitteet

Faktorointimenetelmät

On olemassa useita faktorointimenetelmiä, joita sovelletaan tapauskohtaisesti. Jotkut näistä ovat seuraavat:

Faktorointi yhteisellä tekijällä

Tässä menetelmässä tunnistetaan ne tekijät, jotka ovat yleisiä; toisin sanoen ne, jotka toistetaan ilmaisun ehdoissa. Sitten levitysominaisuus otetaan käyttöön, suurin yhteinen jakaja poistetaan ja faktorointi on valmis.

Toisin sanoen yhteinen ilmaisutekijä tunnistetaan ja kukin termi jaetaan sen kesken; tuloksena olevat termit kerrotaan suurimmalla yhteisellä tekijällä, joka ilmaisee tekijöinnin.

Esimerkki 1

Tekijä (b²x) + (b²y).

ratkaisu

Ensin on jokaisen termin yhteinen tekijä, joka tässä tapauksessa on b², ja sitten ehdot jaetaan yhteisen tekijän kesken seuraavasti:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktointi on ilmaistu, kertomalla yhteinen tekijä tuloksena olevilla termeillä:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Esimerkki 2

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on kaksi tekijää, jotka toistetaan kussakin termissä, jotka ovat "a" ja "b", ja jotka ovat korotettuja tehoon. Näiden tekijöiden määrittämiseksi ensin kaksi termiä on jaettu pitkään muotoonsa:

2_*että_*että_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Voidaan havaita, että tekijä "a" toistetaan vain kerran toisessa aikavälissä, ja kerroin "b" toistetaan kahdesti siinä; joten ensimmäisessä aikavälissä on vain 2, kerroin "a" ja "b"; toisella aikavälillä on vain 3.

Siksi kirjoitamme ajat, jolloin "a" ja "b" toistetaan ja kerrotaan tekijöistä, jotka jäävät jokaisesta aikavälistä, kuten kuvassa näkyy:

Faktointi ryhmittelyllä

Koska kaikissa tapauksissa polynomin suurin yhteinen jakaja on selvästi ilmaistu, on tarpeen tehdä muita vaiheita, jotta polynomi voidaan kirjoittaa uudelleen ja siten tekijä.

Yksi näistä vaiheista on ryhmitellä polynomin ehdot useisiin ryhmiin ja käyttää sitten yhteistä tekijämenetelmää.

Esimerkki 1

Tekijä ac + bc + ad + bd.

ratkaisu

On neljä tekijää, joista kaksi on yhteisiä: ensimmäisessä termissä se on "c" ja toisessa se on "d". Näin kaksi termiä ryhmitellään ja erotetaan toisistaan:

(ac + bc) + (mainos + bd).

Nyt on mahdollista soveltaa yhteistä tekijämenetelmää jakamalla jokainen termi yhteisellä tekijällä ja kertomalla tämä yhteinen tekijä tuloksena olevilla termeillä, kuten tämä:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nyt saat binomin, joka on yhteinen molemmille termeille. Se on kerrottu jäljellä olevilla tekijöillä; näin sinun on:

ac + bc + mainos + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktointi tarkastuksella

Tätä menetelmää käytetään neliömäisten polynomien muodostamiseen, joita kutsutaan myös trinomialiksi; eli ne, jotka ovat rakenteeltaan kirveitä² ± bx + c, jossa "a" -arvo eroaa arvosta 1. Tätä menetelmää käytetään myös silloin, kun trinomialla on muoto x² ± bx + c ja arvo "a" = 1.

Esimerkki 1

Tekijä x² + 5x + 6.

ratkaisu

Sinulla on neliömäinen trinomi, jonka muoto on x² ± bx + c. Ennen tekemistä on löydettävä kaksi numeroa, jotka kerrottuna antavat tulokseksi arvon "c" (eli 6) ja että sen summa on yhtä suuri kuin kerroin "b", joka on 5. Nämä numerot ovat 2 ja 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Näin ilmaus yksinkertaistetaan näin:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Jokainen termi otetaan huomioon:

- Saat (x² + 2x) yhteinen termi poistetaan: x (x + 2)

- (3x + 6) = 3 (x + 2)

Näin ollen ilmaisu pysyy:

x (x +2) + 3 (x +2).

Koska sinulla on yhteinen binomi, vähennä ilmaisua kertomalla tämä ylijäämäsäännöillä ja sinun on:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Esimerkki 2

Tekijä 4a² + 12a + 9 = 0.

ratkaisu

Sinulla on neliön kolmiulotteinen muoto kirvesestä² ± bx + c ja sen määrittämiseksi kaikki lauseke kerrotaan kertoimella x²; tässä tapauksessa 4.

4.² + 12a +9 = 0

4.² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² että² + 12a (4) + 36 = 0

Nyt meidän on löydettävä kaksi numeroa, jotka kerrottuna yhdessä antavat tulokseksi arvon "c" (joka on 36) ja että kun niitä yhdistetään, tuloksena on sanan "a" kerroin, joka on 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tällä tavoin lauseke kirjoitetaan uudelleen ottaen huomioon sen² että² = 4a _* 4A. Siksi jako-omaisuutta sovelletaan jokaiseen termiin:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Lopuksi lauseke jaetaan kertoimella²; eli 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Ilmaisu on seuraava:

4.² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktorointi merkittävillä tuotteilla

On tapauksia, joissa polynomien täysipainoinen hyödyntäminen aiempien menetelmien kanssa muuttuu hyvin pitkäksi prosessiksi.

Siksi lauseketta voidaan kehittää merkittävien tuotteiden kaavoilla ja siten prosessi on yksinkertaisempi. Käytetyimmät merkittävät tuotteet ovat:

- Kahden neliön ero: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Täydellinen neliön summa: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Täydellinen neliön ero: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Kahden kuution ero: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Kahden kuution summa: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Esimerkki 1

Tekijä (5² - x²)

ratkaisu

Tällöin on kahden neliön ero; näin ollen huomattavan tuotteen kaavaa käytetään:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Esimerkki 2

Tekijä 16x² + 40x + 25²

ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on täydellinen neliön neliö, koska voimme tunnistaa kaksi termiä neliön verran, ja jäljellä oleva termi on seurausta kahdesta kertomalla ensimmäisen aikavälin neliöjuurella toisen aikavälin neliöjuuren perusteella.

että² + 2ab + b² = (a + b)²

Voit laskea vain ensimmäisen ja kolmannen termin neliöjuuret:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Sitten kaksi tuloksena olevaa termiä erotetaan operaation merkillä, ja koko polynomi on nelikulmainen:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Esimerkki 3

Tekijä 27a³ - b³

ratkaisu

Ilmaus edustaa vähennystä, jossa kaksi tekijää nostetaan kuutioon. Jotta niitä voitaisiin ottaa huomioon, sovelletaan kuutioeron merkittävän tuotteen kaavaa, joka on:

että³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Täten faktorisoimiseksi binomiaalin kunkin aikavälin kuutiojuurta poistetaan ja kerrotaan ensimmäisen aikavälin neliöllä, plus ensimmäisen ensimmäisen tuotteen tuotto toisella aikavälillä, plus toinen aikakaudella neliö.

27th³ - b³

³√ (27a³) = 3a

3√ (-b³) = -b

27th³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27th³ - b³ = (3a - b) _* (9 a² + 3ab + b²)

Faktointi Ruffinin säännön kanssa

Tätä menetelmää käytetään, kun polynomi on astetta suurempi kuin kaksi, jotta yksinkertaistettaisiin ilmaisua useille vähäisemmille polynomeille.

Esimerkki 1

Tekijä Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

ratkaisu

Etsi ensin numerot, jotka ovat 12: n jakajia, eli itsenäinen termi; nämä ovat ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ja ± 12.

Sitten x korvataan näillä arvoilla, alimmasta korkeimpaan, ja siten määritetään, millä arvoilla jako on tarkka; toisin sanoen loput on 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ° C.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Ja niin edelleen jokaiselle jakajalle. Tällöin löydetyt tekijät ovat x = -1 ja x = 2.

Nyt käytetään Ruffinin menetelmää, jonka mukaan lausekkeen kertoimet jaetaan niiden tekijöiden kesken, joiden perusteella jako on tarkka. Polynomi-termit tilataan korkeimmasta alimpaan eksponenttiin; siinä tapauksessa, että sekvenssissä seuraa- vaa astetta puuttuu termi, 0 sijoitetaan paikalleen.

Kertoimet sijaitsevat seuraavassa kuvassa esitetyssä kaaviossa.

Ensimmäinen kerroin lasketaan ja kerrotaan jakajalla. Tässä tapauksessa ensimmäinen jakaja on -1 ja tulos sijoitetaan seuraavaan sarakkeeseen. Sitten kertoimen arvo lisätään pystysuoraan saadun tuloksen kanssa ja tulos sijoitetaan alla. Näin prosessi toistetaan viimeiseen sarakkeeseen saakka.

Sitten sama menettely toistetaan uudelleen, mutta toisella jakajalla (joka on 2), koska lauseketta voidaan edelleen yksinkertaistaa.

Näin ollen jokaiselle saadulle juurelle polynomilla on termi (x - a), jossa "a" on juuren arvo:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Toisaalta nämä termit on kerrottava jäljellä olevalla Ruffinin säännöllä 1: 1 ja -6, jotka ovat luokkaan vaikuttavia tekijöitä. Tällä tavoin muodostuva ilmentymä on: (x² + x - 6).

Polynomin faktorisoinnin tuloksen saaminen Ruffini-menetelmällä on:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Lopuksi edellisessä lausekkeessa näkyvä aste 2: n polynomi voidaan kirjoittaa uudelleen (x + 3) (x-2). Siksi lopullinen tekijä on:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

viittaukset

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra ja trigonometria, jossa on analyyttinen geometria. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Kuinka opettaa lapsille tietoa tekijöistä polynomiin.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Perusmatematiikka sovelluksilla.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineaariset menetelmät polynomifaktorisaatiolle äärellisiin kenttiin: teoria ja toteutukset. Essenin yliopisto.
5. Sharpe, D. (1987). Sormukset ja Factorization.