Polynomiyhtälöt (ratkaistujen harjoitusten kanssa)

polynomiyhtälöt ovat lausunto, joka nostaa kahden ilmaisun tai jäsenen tasa-arvon, jossa ainakin yksi termeistä, jotka muodostavat kunkin puolen tasa-arvon, ovat polynomeja P (x). Nämä yhtälöt on nimetty niiden muuttujien asteen mukaan.

Yleensä yhtälö on lauseke, joka muodostaa kahden ilmaisun tasa-arvon, jossa ainakin yhdessä näistä on tuntemattomia määriä, joita kutsutaan muuttujiksi tai tuntemattomiksi. Vaikka yhtälöitä on monia, ne luokitellaan yleensä kahteen tyyppiin: algebralliseen ja transsendenttiseen.

Polynomiyhtälöt sisältävät vain algebrallisia lausekkeita, joissa yhtälössä voi olla yksi tai useampia tuntemattomia. Näiden eksponenttien (asteen) mukaan ne voidaan luokitella: ensimmäisen asteen (lineaarinen), toisen asteen (neliö), kolmannen asteen (kuutiometri), neljännen asteen (kvarttinen), suurempi tai yhtä suuri kuin viisi ja irrationaalinen.

indeksi

• 1 Ominaisuudet
• 2 tyyppiä
  • 2.1 Ensimmäinen luokka
  • 2.2 Toinen aste
  • 2.3 Resolveri
  • 2.4 Korkeampi luokitus
• 3 Harjoitukset ratkaistu
  • 3.1 Ensimmäinen harjoitus
  • 3.2 Toinen harjoitus
• 4 Viitteet

piirteet

Polynomiyhtälöt ovat ilmaisuja, jotka muodostuvat kahden polynomin välisestä tasa-arvosta; toisin sanoen tuntemattomien arvojen (muuttujien) ja kiinteiden numeroiden (kertoimien) välisten rajallisten kertojen kertoimella, jossa muuttujilla voi olla eksponentteja, ja niiden arvo voi olla positiivinen kokonaisluku, mukaan lukien nolla.

Eksponentit määrittävät yhtälön asteen tai tyypin. Tämä lausekkeen termi, jolla on korkein arvo, edustaa polynomin absoluuttista astetta.

Polynomiyhtälöitä kutsutaan myös algebrallisiksi yhtälöiksi, niiden kertoimet voivat olla todellisia tai monimutkaisia ​​numeroita ja muuttujia ovat tuntemattomia numeroita, joita edustaa kirjain, kuten: "x".

Jos P: n (x) muuttujan "x" arvo korvataan, tulos on nolla (0), niin sanotaan, että tämä arvo täyttää yhtälön (se on ratkaisu), ja sitä kutsutaan yleisesti polynomin juureksi.

Kun polynomiyhtälö on kehitetty, haluat löytää kaikki juuret tai ratkaisut.

tyyppi

Polynomiyhtälöitä on useita, jotka erotellaan muuttujien lukumäärän mukaan ja myös niiden eksponentti-asteen mukaan.

Näin ollen polynomiyhtälöt - missä ensimmäinen termi on polynomi, jossa on vain yksi tuntematon, ottaen huomioon, että sen aste voi olla mikä tahansa luonnollinen numero (n) ja toinen termi on nolla, voidaan ilmaista seuraavasti:

että_{n *} xⁿ + että_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + että_{0 *} x₀ = 0

missä:

- että_n, että_n-1 ja a₀, ne ovat todellisia kertoimia (numeroita).

- että_n se eroaa nollasta.

- Eksponentti n on positiivinen kokonaisluku, joka edustaa yhtälön astetta.

- x on muuttuja tai tuntematon, jota on haettava.

Polynomin yhtälön absoluuttinen tai suurempi aste on se, joka on suurempi arvo kaikkien niiden joukossa, jotka muodostavat polynomin; näin yhtälöt luokitellaan seuraavasti:

Ensimmäinen luokka

Ensimmäisen asteen polynomiyhtälöt, joita kutsutaan myös lineaarisiksi yhtälöiksi, ovat ne, joissa aste (suurin eksponentti) on yhtä suuri kuin 1, polynomi on muodoltaan P (x) = 0; ja se koostuu lineaarisesta termistä ja itsenäisestä termistä. Se on kirjoitettu seuraavasti:

ax + b = 0.

missä:

- a ja b ovat reaalilukuja ja a ≠ 0.

- kirves on lineaarinen termi.

- b on itsenäinen termi.

Esimerkiksi yhtälö 13x - 18 = 4x.

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi kaikki sanat, jotka sisältävät tuntemattoman x: n, on siirrettävä tasa-arvon yhdelle puolelle ja ne, joita ei ole siirretty toiselle puolelle, jotta ne voidaan poistaa ja saada ratkaisu:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Tällä tavoin annetulla yhtälöllä on yksi ratkaisu tai juuri, joka on x = 2.

Toinen luokka

Toisen asteen polynomiyhtälöt, joita kutsutaan myös kvadraattisiksi yhtälöiksi, ovat ne, joissa aste (suurin eksponentti) on yhtä suuri kuin 2, polynomi on muodoltaan P (x) = 0, ja se koostuu kvadratiivisesta termistä , yksi lineaarinen ja yksi riippumaton. Se ilmaistaan ​​seuraavasti:

kirves² + bx + c = 0.

missä:

- a, b ja c ovat reaalilukuja ja a ≠ 0.

- kirves² on kvadratermi, ja "a" on neliöjakson kerroin.

- bx on lineaarinen termi, ja "b" on lineaarisen aikavälin kerroin.

- c on itsenäinen termi.

resolvente

Yleensä ratkaisu tämäntyyppisiin yhtälöihin annetaan poistamalla x yhtälöstä, ja se jätetään seuraavasti, jota kutsutaan resolveriksi:

Siellä (b² - 4ac) kutsutaan yhtälön syrjiväksi ja tämä ilmaisu määrittää ratkaisujen määrän, jolla yhtälöllä voi olla:

- Kyllä (b² - 4ac) = 0, yhtälöllä on yksi ratkaisu, joka on kaksinkertainen; Toisin sanoen sinulla on kaksi yhtäläistä ratkaisua.

- Kyllä (b² - 4ac)> 0, yhtälöllä on kaksi eri todellista ratkaisua.

- Kyllä (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Sinulla on esimerkiksi yhtälö 4x² + 10x - 6 = 0, ratkaise ensin tunnukset a, b ja c ja vaihda se kaavaan:

a = 4

b = 10

c = -6.

On tapauksia, joissa toisen asteen polynomiyhtälöillä ei ole kolmea termiä, ja siksi ne ratkaistaan ​​eri tavalla:

- Siinä tapauksessa, että neliöyhtälöillä ei ole lineaarista termiä (eli b = 0), yhtälö ilmaistaan ​​akselina² + c = 0. Se ratkaistaan ​​x: llä² ja neliömäiset juuret sovelletaan kussakin jäsenessä, muistaen, että kaksi mahdollista merkkiä, joita tuntematon voi olla, on otettu huomioon:

kirves² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Esimerkiksi 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Kun neliöyhtälöllä ei ole itsenäistä termiä (ts. C = 0), yhtälö ilmaistaan ​​akselina² + bx = 0. Sen ratkaisemiseksi meidän on purettava tuntemattoman x: n yhteinen tekijä ensimmäisessä jäsenessä; koska yhtälö on nolla, on totta, että ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin 0:

kirves² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Näin sinun on:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Esimerkiksi: sinulla on yhtälö 5x² + 30x = 0. Ensimmäinen tekijä:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Luodaan kaksi tekijää, jotka ovat x ja (5x + 30). Katsotaan, että yksi niistä on nolla ja toinen ratkaisu annetaan:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Suurin tutkinto

Polynomiyhtälöt, jotka ovat suurempia, ovat niitä, jotka lähtevät kolmannesta asteesta ja jotka voidaan ilmaista tai ratkaista yleisen polynomin yhtälöllä minkä tahansa asteen osalta:

että_{n *} xⁿ + että_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + että_{0 *} x₀ = 0

Tätä käytetään, koska yhtälö, jonka aste on suurempi kuin kaksi, on polynomin tekijöinnin tulos; toisin sanoen se ilmaistaan ​​yhden tai useamman asteen polynomien kertomiseksi, mutta ilman todellisia juuria.

Tämäntyyppisten yhtälöiden ratkaisu on suora, koska kahden tekijän kertolasku on nolla, jos jokin tekijöistä on nolla (0); sen vuoksi jokainen löydetty polynomiyhtälö on ratkaistava, ja jokainen sen tekijöistä on nolla.

Sinulla on esimerkiksi kolmannen asteen yhtälö (kuutio) x³ + x² +4x + 4 = 0. Voit ratkaista sen seuraavasti:

- Ehdot on ryhmitelty:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Raajat hajoavat saadakseen yhteisen tekijän tuntemattomasta:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Tällä tavoin saadaan kaksi tekijää, joiden on oltava nolla:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Voidaan nähdä, että tekijä (x² + 4) = 0: lla ei ole todellista ratkaisua, kun taas tekijä (x + 1) = 0 kyllä. Siksi ratkaisu on:

(x + 1) = 0

x = -1.

Ratkaistut harjoitukset

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

Ensimmäinen harjoitus

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

ratkaisu

Tässä tapauksessa yhtälö ilmaistaan ​​polynomien kerto- misena; se on siis otettu huomioon. Sen ratkaisemiseksi kunkin tekijän on oltava nolla:

- 2x² + 5 = 0, ei ole ratkaisua.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Siten annetulla yhtälöllä on kaksi ratkaisua: x = 3 ja x = -1.

Toinen harjoitus

x⁴ - 36 = 0.

ratkaisu

Sille annettiin polynomi, joka voidaan kirjoittaa uudelleen ruutujen erona saavuttaakseen nopeamman ratkaisun. Yhtälö pysyy näin:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Yhtälöiden ratkaisun löytämiseksi molemmat tekijät ovat nolla:

(x² + 6) = 0, ei ole ratkaisua.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Näin ollen alkuperäisellä yhtälöllä on kaksi ratkaisua:

x = √6.

x = - √6.

viittaukset

1. Andres, T. (2010). Matematiikan olympialaiset Tresure. Springer. New York.
2. Angel, A. R. (2007). Elementaarinen algebra Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineaarinen algebra ja projektiivinen geometria. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kulttuuri.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematiikka ennen laskentaa. Medellinin yliopisto.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matematiikan käsikirja olympiavalmistelua varten. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior Algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematiikka 3.