Analyyttisen geometrian historiallinen tausta

Analyyttisen geometrian historiallinen tausta he palaavat 1700-luvulle, jolloin Pierre de Fermat ja René Descartes määrittelivät perusajatuksensa. Hänen keksintönsä seurasi algebran modernisointia ja François Vièteen algebrallista merkintää.

Tällä kentällä on pohjat muinaisessa Kreikassa, erityisesti Apollonius- ja Euclid-teoksissa, joilla oli suuri vaikutus tällä matematiikan alueella.

Analyyttisen geometrian keskeinen ajatus on, että kahden muuttujan välinen suhde, niin että toinen on toisen funktio, määrittelee käyrän.

Pierre de Fermat kehitti tämän ajatuksen ensimmäistä kertaa. Tämän olennaisen kehyksen ansiosta Isaac Newton ja Gottfried Leibniz pystyivät kehittämään laskelman.

Ranskalainen filosofi Descartes löysi myös algebrallisen lähestymistavan geometriaan, ilmeisesti omasta. Descartesin työ geometriasta näkyy hänen kuuluisassa kirjassaan Menetelmän puhe.

Tässä kirjassa on osoitettu, että kompassi ja suorien reunojen geometriset rakenteet sisältävät lisäyksen, vähennyksen, kertomuksen ja neliöjuuret.

Analyyttinen geometria edustaa kahden tärkeän matematiikan perinteen yhdistelmää: geometria muodon tutkimuksena ja aritmeettinen ja algebra, jotka liittyvät määrään tai numeroihin. Siksi analyyttinen geometria on geometrian kentän tutkimus koordinaattijärjestelmiä käyttäen.

historia

Analyyttisen geometrian tausta

Geometrian ja algebran välinen suhde on kehittynyt matematiikan historian aikana, vaikka geometria saavutti aikaisemman kypsyysasteen..

Esimerkiksi Kreikan matemaatikko Euclid pystyi järjestämään monia tuloksia klassisessa kirjassaan Elementit.

Mutta se oli muinainen kreikkalainen Apollonius Pergasta, joka ennusti analyyttisen geometrian kehittymistä kirjassaan kartiomainen. Hän määritteli kartion leikkauksena kartion ja tason välille.

Käyttämällä Eucliden tuloksia samankaltaisissa kolmioissa ja ympyrän kuivauksessa hän löysi suhdetta, jonka antavat etäisyydet mistä tahansa kartion pisteestä "P" kahteen kohtisuoraan viivaan, kartion pääakseliin ja tangenttiin akselin lopullisessa kohdassa. Apollonius käytti tätä suhdetta päätelläkseen kartion perusominaisuudet.

Matematiikan koordinaattijärjestelmien kehitys kehittyi vasta sen jälkeen, kun algebra oli kypsynyt islamilaisten ja intialaisten matemaatikkojen ansiosta.

Ennen kuin renessanssin geometriaa käytettiin algebrallisten ongelmien ratkaisemiseen, mutta algebra ei voinut edesauttaa geometriaa.

Tämä tilanne muuttuu, kun algebraalisia suhteita varten on olemassa kätevä merkintä ja matemaattisen funktion käsitteen kehittäminen, joka nyt oli mahdollista.

XVI

Kuudennentoista vuosisadan lopussa ranskalainen matemaatikko François Viète esitteli ensimmäisen systemaattisen algebrallisen merkinnän käyttäen kirjaimia, jotka edustavat sekä tunnettuja että tuntemattomia numeromääriä.

Hän kehitti myös tehokkaita yleisiä menetelmiä algebrallisten ilmaisujen ja algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Tämän ansiosta matemaatikot eivät olleet täysin riippuvaisia ​​geometrisista kuvioista ja geometrisesta intuitiosta ongelmien ratkaisemiseksi.

Jopa jotkut matemaatikot alkoivat luopua tavallisesta geometrisesta ajattelutavasta, jonka mukaan pituuksien ja neliöiden lineaariset muuttujat vastaavat alueita, kun taas kuutiometri vastaa tilavuutta.

Ensimmäinen askel oli filosofi ja matemaatikko René Descartes sekä asianajaja ja matemaatikko Pierre de Fermat.

Analyyttisen geometrian perustaminen

Descartes ja Fermat perustivat itsenäisesti analyyttisen geometrian 1630-luvulla ottamalla käyttöön Viète-algebran geometrisen paikan tutkimiseksi.

Nämä matemaatikot tajusivat, että algebra oli suuri voima geometriassa ja keksi sen, mitä nykyään kutsutaan analyyttiseksi geometriaksi.

Heidän etukäteensa oli voittaa Viète käyttämällä kirjaimia edustamaan etäisyyksiä, jotka ovat muuttuvia kiinteän sijasta..

Descartes käytti yhtälöitä geometrisesti määriteltyjen käyrien tutkimiseen ja korosti tarvetta pohtia polynomin yhtälöiden yleisiä algebrallisia ja graafisia käyrät asteina "x" ja "y"..

Fermat korosti puolestaan, että koordinaattien "x" ja "ja" välinen suhde määrittää käyrän.

Näiden ideoiden avulla hän muutti Apollonius-lausunnot algebrallisista termeistä ja palautti joitakin hänen kadonneista teoksistaan..

Fermat osoitti, että mikä tahansa "x" ja "y": n neliöyhtälö voidaan sijoittaa yhden kartiomaisen osan vakiomuotoon. Tästä huolimatta Fermat ei koskaan julkaissut teoksiaan aiheesta.

Edistyksensä ansiosta, mitä Archimedes pystyi ratkaisemaan vain suuresti ja yksittäistapauksissa, Fermat ja Descartes voisivat ratkaista sen nopeasti ja suurella määrällä käyriä (tunnetaan nyt algebrallisina käyrinä).

Mutta hänen ajatuksensa saivat vain yleisen hyväksynnän muiden matemaatikkojen ponnisteluilla 1700-luvun jälkipuoliskolla.

Matemaatikot Frans van Schooten, Florimond de Beaune ja Johan de Witt auttoivat laajentamaan Decartesin työtä ja lisäsivät tärkeitä lisämateriaaleja.

vaikutusvalta

Englannissa John Wallis mainosti analyyttistä geometriaa. Hän käytti yhtälöitä kartioiden määrittämiseksi ja niiden ominaisuuksien määrittämiseksi. Vaikka hän käytti vapaasti negatiivisia koordinaatteja, oli Isaac Newton, joka käytti kahta vinoa akselia jakamaan kone neljään neliöön..

Newton ja saksalainen Gottfried Leibniz mullistivat matematiikan 17. vuosisadan lopussa osoittamalla itsenäisesti laskennallisen voiman.

Newton osoitti analyyttisten menetelmien merkityksen geometriassa ja sen roolissa laskennassa, kun hän totesi, että missä tahansa kuutiossa (tai missä tahansa kolmannen asteen algebrallisessa käyrässä) on kolme tai neljä standardiyhtälöä sopiville koordinaattiakseleille. Itse Newtonin avulla skotlantilainen matemaatikko John Stirling osoitti sen vuonna 1717.

Kolmen ja useamman ulottuvuuden analyyttinen geometria

Vaikka sekä Descartes että Fermat ehdottivat käyttävänsä kolmea koordinaattia kaarien ja pintojen tutkimiseen avaruudessa, kolmiulotteinen analyyttinen geometria kehittyi hitaasti vuoteen 1730 asti.

Matemaatikot Euler, Hermann ja Clairaut tuottivat yleisiä yhtälöitä sylintereille, käpyille ja vallankumouksille.

Esimerkiksi Euler käytti yhtälöjä käännöksille avaruudessa muuntamaan yleinen neliöpinta siten, että sen pääakselit osuivat sen koordinaattiakseleihin.

Euler, Joseph-Louis Lagrange ja Gaspard Monge tekivät analyyttisen geometrian riippumatta synteettisestä geometriasta (ei analyyttinen).

viittaukset

1. Analyyttisen geometrian kehittäminen (2001). Palautettu encyclopedia.comista
2. Analyyttisen geometrian historia (2015). Palautettu maasta
3. Analyysi (matematiikka). Palautettu britannica.comista
4. Analyyttinen geometria. Palautettu britannica.comista
5. Descartes ja analyyttisen geometrian syntyminen. Palautettu osoitteesta sciencedirect.com